Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpkrlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lshpkrlem6 34874
Description: Lemma for lshpkrex 34877. Show linearlity of 𝐺. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpkrlem.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpkrlem.a + = (+g𝑊)
lshpkrlem.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpkrlem.p = (LSSum‘𝑊)
lshpkrlem.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpkrlem.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lshpkrlem.u (𝜑𝑈𝐻)
lshpkrlem.z (𝜑𝑍𝑉)
lshpkrlem.x (𝜑𝑋𝑉)
lshpkrlem.e (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
lshpkrlem.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpkrlem.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
lshpkrlem.t · = ( ·𝑠𝑊)
lshpkrlem.o 0 = (0g𝐷)
lshpkrlem.g 𝐺 = (𝑥𝑉 ↦ (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
Assertion
Ref Expression
lshpkrlem6 ((𝜑 ∧ (𝑙𝐾𝑢𝑉𝑣𝑉)) → (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦, +   𝑘,𝐾,𝑥   0 ,𝑘   · ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑈,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝑉   𝑘,𝑋,𝑥,𝑦   𝑘,𝑍,𝑥,𝑦   + ,𝑙   𝐺,𝑙   𝐾,𝑙   𝑈,𝑙   𝑋,𝑙   𝑍,𝑙,𝑘,𝑥,𝑦   · ,𝑙   𝑢,𝑘,𝑣,𝑥,𝑦,𝑙
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑙)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑙)   + (𝑣,𝑢)   (𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑙)   · (𝑣,𝑢)   𝑈(𝑣,𝑢)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑙)   𝐾(𝑦,𝑣,𝑢)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑙)   𝑉(𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑙)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑙)   𝑋(𝑣,𝑢)   0 (𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑙)   𝑍(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem lshpkrlem6
Dummy variables 𝑧 𝑠 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpkrlem.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lshpkrlem.a . . 3 + = (+g𝑊)
3 lshpkrlem.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4 lshpkrlem.p . . 3 = (LSSum‘𝑊)
5 lshpkrlem.h . . 3 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
6 lshpkrlem.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
76adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑙𝐾𝑢𝑉𝑣𝑉)) → 𝑊 ∈ LVec)
8 lshpkrlem.u . . . 4 (𝜑𝑈𝐻)
98adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑙𝐾𝑢𝑉𝑣𝑉)) → 𝑈𝐻)
10 lshpkrlem.z . . . 4 (𝜑𝑍𝑉)
1110adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑙𝐾𝑢𝑉𝑣𝑉)) → 𝑍𝑉)
12 simpr2 1212 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑙𝐾𝑢𝑉𝑣𝑉)) → 𝑢𝑉)
13 lshpkrlem.e . . . 4 (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
1413adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑙𝐾𝑢𝑉𝑣𝑉)) → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
15 lshpkrlem.d . . 3 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
16 lshpkrlem.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝐷)
17 lshpkrlem.t . . 3 · = ( ·𝑠𝑊)
18 lshpkrlem.o . . 3 0 = (0g𝐷)
19 lshpkrlem.g . . 3 𝐺 = (𝑥𝑉 ↦ (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
201, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19lshpkrlem3 34871 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑙𝐾𝑢𝑉𝑣𝑉)) → ∃𝑟𝑈 𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)))
21 simpr3 1214 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑙𝐾𝑢𝑉𝑣𝑉)) → 𝑣𝑉)
221, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 21, 14, 15, 16, 17, 18, 19lshpkrlem3 34871 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑙𝐾𝑢𝑉𝑣𝑉)) → ∃𝑠𝑈 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)))
23 lveclmod 19279 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
247, 23syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑙𝐾𝑢𝑉𝑣𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
25 simpr1 1210 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑙𝐾𝑢𝑉𝑣𝑉)) → 𝑙𝐾)
261, 15, 17, 16lmodvscl 19053 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑙𝐾𝑢𝑉) → (𝑙 · 𝑢) ∈ 𝑉)
2724, 25, 12, 26syl3anc 1463 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑙𝐾𝑢𝑉𝑣𝑉)) → (𝑙 · 𝑢) ∈ 𝑉)
281, 2lmodvacl 19050 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑙 · 𝑢) ∈ 𝑉𝑣𝑉) → ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) ∈ 𝑉)
2924, 27, 21, 28syl3anc 1463 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑙𝐾𝑢𝑉𝑣𝑉)) → ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) ∈ 𝑉)
301, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 29, 14, 15, 16, 17, 18, 19lshpkrlem3 34871 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑙𝐾𝑢𝑉𝑣𝑉)) → ∃𝑧𝑈 ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))
31 3reeanv 3234 . . 3 (∃𝑟𝑈𝑠𝑈𝑧𝑈 (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍))) ↔ (∃𝑟𝑈 𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ ∃𝑠𝑈 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ∃𝑧𝑈 ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍))))
32 simp1l 1216 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝐾𝑢𝑉𝑣𝑉)) ∧ ((𝑟𝑈𝑠𝑈) ∧ 𝑧𝑈) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝜑)
33 simp1r1 1330 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝐾𝑢𝑉𝑣𝑉)) ∧ ((𝑟𝑈𝑠𝑈) ∧ 𝑧𝑈) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑙𝐾)
34 simp1r2 1331 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝐾𝑢𝑉𝑣𝑉)) ∧ ((𝑟𝑈𝑠𝑈) ∧ 𝑧𝑈) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑢𝑉)
35 simp1r3 1332 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝐾𝑢𝑉𝑣𝑉)) ∧ ((𝑟𝑈𝑠𝑈) ∧ 𝑧𝑈) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑣𝑉)
36 simp2ll 1283 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝐾𝑢𝑉𝑣𝑉)) ∧ ((𝑟𝑈𝑠𝑈) ∧ 𝑧𝑈) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑟𝑈)
37 simp2lr 1284 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑙𝐾𝑢𝑉𝑣𝑉)) ∧ ((𝑟𝑈𝑠𝑈) ∧ 𝑧𝑈) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑠𝑈)
38 simp2r 1219 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑙𝐾𝑢𝑉𝑣𝑉)) ∧ ((𝑟𝑈𝑠𝑈) ∧ 𝑧𝑈) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑧𝑈)
3937, 38jca 555 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝐾𝑢𝑉𝑣𝑉)) ∧ ((𝑟𝑈𝑠𝑈) ∧ 𝑧𝑈) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → (𝑠𝑈𝑧𝑈))
40 simp31 1228 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝐾𝑢𝑉𝑣𝑉)) ∧ ((𝑟𝑈𝑠𝑈) ∧ 𝑧𝑈) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)))
41 simp32 1229 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝐾𝑢𝑉𝑣𝑉)) ∧ ((𝑟𝑈𝑠𝑈) ∧ 𝑧𝑈) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)))
42 simp33 1230 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑙𝐾𝑢𝑉𝑣𝑉)) ∧ ((𝑟𝑈𝑠𝑈) ∧ 𝑧𝑈) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))
431, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 10, 13, 15, 16, 17, 18, 19lshpkrlem5 34873 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑈 ∧ (𝑠𝑈𝑧𝑈)) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣)))
4432, 33, 34, 35, 36, 39, 40, 41, 42, 43syl333anc 1495 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑙𝐾𝑢𝑉𝑣𝑉)) ∧ ((𝑟𝑈𝑠𝑈) ∧ 𝑧𝑈) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍)))) → (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣)))
45443exp 1112 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑙𝐾𝑢𝑉𝑣𝑉)) → (((𝑟𝑈𝑠𝑈) ∧ 𝑧𝑈) → ((𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍))) → (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣)))))
4645expdimp 452 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑙𝐾𝑢𝑉𝑣𝑉)) ∧ (𝑟𝑈𝑠𝑈)) → (𝑧𝑈 → ((𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍))) → (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣)))))
4746rexlimdv 3156 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑙𝐾𝑢𝑉𝑣𝑉)) ∧ (𝑟𝑈𝑠𝑈)) → (∃𝑧𝑈 (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍))) → (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣))))
4847rexlimdvva 3164 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑙𝐾𝑢𝑉𝑣𝑉)) → (∃𝑟𝑈𝑠𝑈𝑧𝑈 (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍))) → (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣))))
4931, 48syl5bir 233 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑙𝐾𝑢𝑉𝑣𝑉)) → ((∃𝑟𝑈 𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ ∃𝑠𝑈 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)) ∧ ∃𝑧𝑈 ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (𝑧 + ((𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) · 𝑍))) → (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣))))
5020, 22, 30, 49mp3and 1564 1 ((𝜑 ∧ (𝑙𝐾𝑢𝑉𝑣𝑉)) → (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1620  wcel 2127  wrex 3039  {csn 4309  cmpt 4869  cfv 6037  crio 6761  (class class class)co 6801  Basecbs 16030  +gcplusg 16114  .rcmulr 16115  Scalarcsca 16117   ·𝑠 cvsca 16118  0gc0g 16273  LSSumclsm 18220  LModclmod 19036  LSpanclspn 19144  LVecclvec 19275  LSHypclsh 34734
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-tpos 7509  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-ress 16038  df-plusg 16127  df-mulr 16128  df-0g 16275  df-mgm 17414  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-submnd 17508  df-grp 17597  df-minusg 17598  df-sbg 17599  df-subg 17763  df-cntz 17921  df-lsm 18222  df-cmn 18366  df-abl 18367  df-mgp 18661  df-ur 18673  df-ring 18720  df-oppr 18794  df-dvdsr 18812  df-unit 18813  df-invr 18843  df-drng 18922  df-lmod 19038  df-lss 19106  df-lsp 19145  df-lvec 19276  df-lshyp 34736
This theorem is referenced by:  lshpkrcl  34875
  Copyright terms: Public domain W3C validator