Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpkrlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lshpkrlem4 34922
Description: Lemma for lshpkrex 34927. Part of showing linearity of 𝐺. (Contributed by NM, 16-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpkrlem.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpkrlem.a + = (+g𝑊)
lshpkrlem.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpkrlem.p = (LSSum‘𝑊)
lshpkrlem.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpkrlem.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lshpkrlem.u (𝜑𝑈𝐻)
lshpkrlem.z (𝜑𝑍𝑉)
lshpkrlem.x (𝜑𝑋𝑉)
lshpkrlem.e (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
lshpkrlem.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpkrlem.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
lshpkrlem.t · = ( ·𝑠𝑊)
lshpkrlem.o 0 = (0g𝐷)
lshpkrlem.g 𝐺 = (𝑥𝑉 ↦ (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
Assertion
Ref Expression
lshpkrlem4 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)))) → ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣)) · 𝑍)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦, +   𝑘,𝐾,𝑥   0 ,𝑘   · ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑈,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝑉   𝑘,𝑋,𝑥,𝑦   𝑘,𝑍,𝑥,𝑦   + ,𝑙   𝐺,𝑙   𝐾,𝑙   𝑈,𝑙   𝑋,𝑙   𝑍,𝑙,𝑘,𝑥,𝑦   · ,𝑙   𝑢,𝑘,𝑣,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   + (𝑣,𝑢,𝑠,𝑟)   (𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   · (𝑣,𝑢,𝑠,𝑟)   𝑈(𝑣,𝑢,𝑠,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   𝐾(𝑦,𝑣,𝑢,𝑠,𝑟)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   𝑉(𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑘,𝑠,𝑟,𝑙)   𝑋(𝑣,𝑢,𝑠,𝑟)   0 (𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑠,𝑟,𝑙)   𝑍(𝑣,𝑢,𝑠,𝑟)

Proof of Theorem lshpkrlem4
StepHypRef Expression
1 simp3l 1243 . . . 4 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)))) → 𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)))
21oveq2d 6809 . . 3 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)))) → (𝑙 · 𝑢) = (𝑙 · (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍))))
3 simp3r 1244 . . 3 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)))) → 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)))
42, 3oveq12d 6811 . 2 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)))) → ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = ((𝑙 · (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍))) + (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍))))
5 simpl1 1227 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉)) → 𝜑)
6 lshpkrlem.w . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
7 lveclmod 19319 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
85, 6, 73syl 18 . . . . . . 7 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
9 simpl2 1229 . . . . . . 7 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉)) → 𝑙𝐾)
10 simpr2 1235 . . . . . . 7 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉)) → 𝑟𝑉)
11 simpl3 1231 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉)) → 𝑢𝑉)
12 lshpkrlem.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Base‘𝑊)
13 lshpkrlem.a . . . . . . . . . 10 + = (+g𝑊)
14 lshpkrlem.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
15 lshpkrlem.p . . . . . . . . . 10 = (LSSum‘𝑊)
16 lshpkrlem.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
176adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
18 lshpkrlem.u . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈𝐻)
1918adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢𝑉) → 𝑈𝐻)
20 lshpkrlem.z . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑍𝑉)
2120adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢𝑉) → 𝑍𝑉)
22 simpr 471 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢𝑉) → 𝑢𝑉)
23 lshpkrlem.e . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
2423adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
25 lshpkrlem.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
26 lshpkrlem.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (Base‘𝐷)
27 lshpkrlem.t . . . . . . . . . 10 · = ( ·𝑠𝑊)
28 lshpkrlem.o . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝐷)
29 lshpkrlem.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (𝑥𝑉 ↦ (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
3012, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 29lshpkrlem2 34920 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢𝑉) → (𝐺𝑢) ∈ 𝐾)
315, 11, 30syl2anc 573 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉)) → (𝐺𝑢) ∈ 𝐾)
325, 20syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉)) → 𝑍𝑉)
3312, 25, 27, 26lmodvscl 19090 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐺𝑢) ∈ 𝐾𝑍𝑉) → ((𝐺𝑢) · 𝑍) ∈ 𝑉)
348, 31, 32, 33syl3anc 1476 . . . . . . 7 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉)) → ((𝐺𝑢) · 𝑍) ∈ 𝑉)
3512, 13, 25, 27, 26lmodvsdi 19096 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑙𝐾𝑟𝑉 ∧ ((𝐺𝑢) · 𝑍) ∈ 𝑉)) → (𝑙 · (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍))) = ((𝑙 · 𝑟) + (𝑙 · ((𝐺𝑢) · 𝑍))))
368, 9, 10, 34, 35syl13anc 1478 . . . . . 6 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉)) → (𝑙 · (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍))) = ((𝑙 · 𝑟) + (𝑙 · ((𝐺𝑢) · 𝑍))))
37 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (.r𝐷) = (.r𝐷)
3812, 25, 27, 26, 37lmodvsass 19098 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑙𝐾 ∧ (𝐺𝑢) ∈ 𝐾𝑍𝑉)) → ((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢)) · 𝑍) = (𝑙 · ((𝐺𝑢) · 𝑍)))
398, 9, 31, 32, 38syl13anc 1478 . . . . . . 7 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉)) → ((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢)) · 𝑍) = (𝑙 · ((𝐺𝑢) · 𝑍)))
4039oveq2d 6809 . . . . . 6 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉)) → ((𝑙 · 𝑟) + ((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢)) · 𝑍)) = ((𝑙 · 𝑟) + (𝑙 · ((𝐺𝑢) · 𝑍))))
4136, 40eqtr4d 2808 . . . . 5 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉)) → (𝑙 · (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍))) = ((𝑙 · 𝑟) + ((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢)) · 𝑍)))
4241oveq1d 6808 . . . 4 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉)) → ((𝑙 · (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍))) + (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍))) = (((𝑙 · 𝑟) + ((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢)) · 𝑍)) + (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍))))
4312, 25, 27, 26lmodvscl 19090 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑙𝐾𝑟𝑉) → (𝑙 · 𝑟) ∈ 𝑉)
448, 9, 10, 43syl3anc 1476 . . . . . 6 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉)) → (𝑙 · 𝑟) ∈ 𝑉)
4525, 26, 37lmodmcl 19085 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑙𝐾 ∧ (𝐺𝑢) ∈ 𝐾) → (𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢)) ∈ 𝐾)
468, 9, 31, 45syl3anc 1476 . . . . . . 7 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉)) → (𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢)) ∈ 𝐾)
4712, 25, 27, 26lmodvscl 19090 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢)) ∈ 𝐾𝑍𝑉) → ((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢)) · 𝑍) ∈ 𝑉)
488, 46, 32, 47syl3anc 1476 . . . . . 6 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉)) → ((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢)) · 𝑍) ∈ 𝑉)
49 simpr3 1237 . . . . . 6 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉)) → 𝑠𝑉)
50 simpr1 1233 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉)) → 𝑣𝑉)
516adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
5218adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑈𝐻)
5320adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑍𝑉)
54 simpr 471 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑣𝑉)
5523adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
5612, 13, 14, 15, 16, 51, 52, 53, 54, 55, 25, 26, 27, 28, 29lshpkrlem2 34920 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣𝑉) → (𝐺𝑣) ∈ 𝐾)
575, 50, 56syl2anc 573 . . . . . . 7 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉)) → (𝐺𝑣) ∈ 𝐾)
5812, 25, 27, 26lmodvscl 19090 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐺𝑣) ∈ 𝐾𝑍𝑉) → ((𝐺𝑣) · 𝑍) ∈ 𝑉)
598, 57, 32, 58syl3anc 1476 . . . . . 6 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉)) → ((𝐺𝑣) · 𝑍) ∈ 𝑉)
6012, 13lmod4 19123 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑙 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢)) · 𝑍) ∈ 𝑉) ∧ (𝑠𝑉 ∧ ((𝐺𝑣) · 𝑍) ∈ 𝑉)) → (((𝑙 · 𝑟) + ((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢)) · 𝑍)) + (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍))) = (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢)) · 𝑍) + ((𝐺𝑣) · 𝑍))))
618, 44, 48, 49, 59, 60syl122anc 1485 . . . . 5 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉)) → (((𝑙 · 𝑟) + ((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢)) · 𝑍)) + (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍))) = (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢)) · 𝑍) + ((𝐺𝑣) · 𝑍))))
62 eqid 2771 . . . . . . . 8 (+g𝐷) = (+g𝐷)
6312, 13, 25, 27, 26, 62lmodvsdir 19097 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢)) ∈ 𝐾 ∧ (𝐺𝑣) ∈ 𝐾𝑍𝑉)) → (((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣)) · 𝑍) = (((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢)) · 𝑍) + ((𝐺𝑣) · 𝑍)))
648, 46, 57, 32, 63syl13anc 1478 . . . . . 6 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉)) → (((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣)) · 𝑍) = (((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢)) · 𝑍) + ((𝐺𝑣) · 𝑍)))
6564oveq2d 6809 . . . . 5 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉)) → (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣)) · 𝑍)) = (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢)) · 𝑍) + ((𝐺𝑣) · 𝑍))))
6661, 65eqtr4d 2808 . . . 4 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉)) → (((𝑙 · 𝑟) + ((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢)) · 𝑍)) + (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍))) = (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣)) · 𝑍)))
6742, 66eqtrd 2805 . . 3 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉)) → ((𝑙 · (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍))) + (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍))) = (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣)) · 𝑍)))
68673adant3 1126 . 2 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)))) → ((𝑙 · (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍))) + (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍))) = (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣)) · 𝑍)))
694, 68eqtrd 2805 1 (((𝜑𝑙𝐾𝑢𝑉) ∧ (𝑣𝑉𝑟𝑉𝑠𝑉) ∧ (𝑢 = (𝑟 + ((𝐺𝑢) · 𝑍)) ∧ 𝑣 = (𝑠 + ((𝐺𝑣) · 𝑍)))) → ((𝑙 · 𝑢) + 𝑣) = (((𝑙 · 𝑟) + 𝑠) + (((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣)) · 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wrex 3062  {csn 4316  cmpt 4863  cfv 6031  crio 6753  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  .rcmulr 16150  Scalarcsca 16152   ·𝑠 cvsca 16153  0gc0g 16308  LSSumclsm 18256  LModclmod 19073  LSpanclspn 19184  LVecclvec 19315  LSHypclsh 34784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-tpos 7504  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-subg 17799  df-cntz 17957  df-lsm 18258  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-drng 18959  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lsp 19185  df-lvec 19316  df-lshyp 34786
This theorem is referenced by:  lshpkrlem5  34923
  Copyright terms: Public domain W3C validator