Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpkrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lshpkrcl 34721
Description: The set 𝐺 defined by hyperplane 𝑈 is a linear functional. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpkr.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpkr.a + = (+g𝑊)
lshpkr.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpkr.p = (LSSum‘𝑊)
lshpkr.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpkr.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lshpkr.u (𝜑𝑈𝐻)
lshpkr.z (𝜑𝑍𝑉)
lshpkr.e (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
lshpkr.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpkr.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
lshpkr.t · = ( ·𝑠𝑊)
lshpkr.g 𝐺 = (𝑥𝑉 ↦ (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
lshpkr.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lshpkrcl (𝜑𝐺𝐹)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦, +   𝑘,𝐾,𝑥   𝑈,𝑘,𝑥,𝑦   𝐷,𝑘   · ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑘,𝑍,𝑥,𝑦   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐷(𝑥,𝑦)   (𝑥,𝑦,𝑘)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐾(𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑘)   𝑉(𝑦,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑘)

Proof of Theorem lshpkrcl
Dummy variables 𝑎 𝑙 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpkr.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lshpkr.a . . . . 5 + = (+g𝑊)
3 lshpkr.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4 lshpkr.p . . . . 5 = (LSSum‘𝑊)
5 lshpkr.h . . . . 5 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
6 lshpkr.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
76adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
8 lshpkr.u . . . . . 6 (𝜑𝑈𝐻)
98adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑉) → 𝑈𝐻)
10 lshpkr.z . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑉)
1110adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑉) → 𝑍𝑉)
12 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑉) → 𝑎𝑉)
13 lshpkr.e . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
1413adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
15 lshpkr.d . . . . 5 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
16 lshpkr.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐷)
17 lshpkr.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
181, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 17lshpsmreu 34714 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑉) → ∃!𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))
19 riotacl 6665 . . . 4 (∃!𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) → (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) ∈ 𝐾)
2018, 19syl 17 . . 3 ((𝜑𝑎𝑉) → (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) ∈ 𝐾)
21 lshpkr.g . . . 4 𝐺 = (𝑥𝑉 ↦ (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
22 eqeq1 2655 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
2322rexbidv 3081 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑎 → (∃𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑦𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
2423riotabidv 6653 . . . . 5 (𝑥 = 𝑎 → (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) = (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
2524cbvmptv 4783 . . . 4 (𝑥𝑉 ↦ (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))) = (𝑎𝑉 ↦ (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
2621, 25eqtri 2673 . . 3 𝐺 = (𝑎𝑉 ↦ (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
2720, 26fmptd 6425 . 2 (𝜑𝐺:𝑉𝐾)
28 eqid 2651 . . . 4 (0g𝐷) = (0g𝐷)
291, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 10, 13, 15, 16, 17, 28, 21lshpkrlem6 34720 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑙𝐾𝑢𝑉𝑣𝑉)) → (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣)))
3029ralrimivvva 3001 . 2 (𝜑 → ∀𝑙𝐾𝑢𝑉𝑣𝑉 (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣)))
31 eqid 2651 . . . 4 (+g𝐷) = (+g𝐷)
32 eqid 2651 . . . 4 (.r𝐷) = (.r𝐷)
33 lshpkr.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
341, 2, 15, 17, 16, 31, 32, 33islfl 34665 . . 3 (𝑊 ∈ LVec → (𝐺𝐹 ↔ (𝐺:𝑉𝐾 ∧ ∀𝑙𝐾𝑢𝑉𝑣𝑉 (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣)))))
356, 34syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐺𝐹 ↔ (𝐺:𝑉𝐾 ∧ ∀𝑙𝐾𝑢𝑉𝑣𝑉 (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣)))))
3627, 30, 35mpbir2and 977 1 (𝜑𝐺𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  ∃!wreu 2943  {csn 4210  cmpt 4762  wf 5922  cfv 5926  crio 6650  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  .rcmulr 15989  Scalarcsca 15991   ·𝑠 cvsca 15992  0gc0g 16147  LSSumclsm 18095  LSpanclspn 19019  LVecclvec 19150  LSHypclsh 34580  LFnlclfn 34662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-subg 17638  df-cntz 17796  df-lsm 18097  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-drng 18797  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-lvec 19151  df-lshyp 34582  df-lfl 34663
This theorem is referenced by:  lshpkr  34722  lshpkrex  34723  dochflcl  37081
  Copyright terms: Public domain W3C validator