Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatspn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatspn0 34808
Description: The span of a vector is an atom iff the vector is nonzero. (Contributed by NM, 4-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatspn0.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsatspn0.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsatspn0.o 0 = (0g𝑊)
lsatspn0.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
isateln0.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
isateln0.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
lsatspn0 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴𝑋0 ))

Proof of Theorem lsatspn0
StepHypRef Expression
1 lsatspn0.o . . . 4 0 = (0g𝑊)
2 lsatspn0.a . . . 4 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
3 isateln0.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
43adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) → 𝑊 ∈ LMod)
5 simpr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴)
61, 2, 4, 5lsatn0 34807 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ { 0 })
7 sneq 4331 . . . . . . . 8 (𝑋 = 0 → {𝑋} = { 0 })
87fveq2d 6357 . . . . . . 7 (𝑋 = 0 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{ 0 }))
98adantl 473 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{ 0 }))
104adantr 472 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = 0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
11 lsatspn0.n . . . . . . . 8 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
121, 11lspsn0 19230 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
1310, 12syl 17 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
149, 13eqtrd 2794 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = { 0 })
1514ex 449 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) → (𝑋 = 0 → (𝑁‘{𝑋}) = { 0 }))
1615necon3d 2953 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ { 0 } → 𝑋0 ))
176, 16mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) → 𝑋0 )
18 lsatspn0.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
193adantr 472 . . 3 ((𝜑𝑋0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
20 isateln0.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
2120adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑋0 ) → 𝑋𝑉)
22 simpr 479 . . . 4 ((𝜑𝑋0 ) → 𝑋0 )
23 eldifsn 4462 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋𝑉𝑋0 ))
2421, 22, 23sylanbrc 701 . . 3 ((𝜑𝑋0 ) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2518, 11, 1, 2, 19, 24lsatlspsn 34801 . 2 ((𝜑𝑋0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴)
2617, 25impbida 913 1 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴𝑋0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  cdif 3712  {csn 4321  cfv 6049  Basecbs 16079  0gc0g 16322  LModclmod 19085  LSpanclspn 19193  LSAtomsclsa 34782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-plusg 16176  df-0g 16324  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-grp 17646  df-mgp 18710  df-ring 18769  df-lmod 19087  df-lss 19155  df-lsp 19194  df-lsatoms 34784
This theorem is referenced by:  lsator0sp  34809  lcfl8b  37313  mapdpglem5N  37486  mapdpglem30a  37504  mapdpglem30b  37505
  Copyright terms: Public domain W3C validator