Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatn0 34807
Description: A 1-dim subspace (atom) of a left module or left vector space is nonzero. (atne0 29534 analog.) (Contributed by NM, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatn0.o 0 = (0g𝑊)
lsatn0.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatn0.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lsatn0.u (𝜑𝑈𝐴)
Assertion
Ref Expression
lsatn0 (𝜑𝑈 ≠ { 0 })

Proof of Theorem lsatn0
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsatn0.u . . 3 (𝜑𝑈𝐴)
2 lsatn0.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
3 eqid 2760 . . . . 5 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4 eqid 2760 . . . . 5 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
5 lsatn0.o . . . . 5 0 = (0g𝑊)
6 lsatn0.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
73, 4, 5, 6islsat 34799 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → (𝑈𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
82, 7syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑈𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
91, 8mpbid 222 . 2 (𝜑 → ∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
10 eldifsn 4462 . . . . 5 (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣0 ))
113, 5, 4lspsneq0 19234 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → (((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) = { 0 } ↔ 𝑣 = 0 ))
122, 11sylan 489 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → (((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) = { 0 } ↔ 𝑣 = 0 ))
1312biimpd 219 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → (((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) = { 0 } → 𝑣 = 0 ))
1413necon3d 2953 . . . . . 6 ((𝜑𝑣 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑣0 → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ≠ { 0 }))
1514expimpd 630 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑣0 ) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ≠ { 0 }))
1610, 15syl5bi 232 . . . 4 (𝜑 → (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ≠ { 0 }))
17 neeq1 2994 . . . . 5 (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑈 ≠ { 0 } ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ≠ { 0 }))
1817biimprcd 240 . . . 4 (((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ≠ { 0 } → (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → 𝑈 ≠ { 0 }))
1916, 18syl6 35 . . 3 (𝜑 → (𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 }) → (𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → 𝑈 ≠ { 0 })))
2019rexlimdv 3168 . 2 (𝜑 → (∃𝑣 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ { 0 })𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → 𝑈 ≠ { 0 }))
219, 20mpd 15 1 (𝜑𝑈 ≠ { 0 })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wrex 3051  cdif 3712  {csn 4321  cfv 6049  Basecbs 16079  0gc0g 16322  LModclmod 19085  LSpanclspn 19193  LSAtomsclsa 34782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-plusg 16176  df-0g 16324  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-grp 17646  df-mgp 18710  df-ring 18769  df-lmod 19087  df-lss 19155  df-lsp 19194  df-lsatoms 34784
This theorem is referenced by:  lsatspn0  34808  lsatssn0  34810  lsatcmp  34811  lsatcv0  34839  dochsat  37192  dochsatshp  37260  dochshpsat  37263  dochexmidlem1  37269
  Copyright terms: Public domain W3C validator