Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatexch Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatexch 34852
Description: The atom exchange property. Proposition 1(i) of [Kalmbach] p. 140. A version of this theorem was originally proved by Hermann Grassmann in 1862. (atexch 29580 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatexch.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsatexch.p = (LSSum‘𝑊)
lsatexch.o 0 = (0g𝑊)
lsatexch.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatexch.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lsatexch.u (𝜑𝑈𝑆)
lsatexch.q (𝜑𝑄𝐴)
lsatexch.r (𝜑𝑅𝐴)
lsatexch.l (𝜑𝑄 ⊆ (𝑈 𝑅))
lsatexch.z (𝜑 → (𝑈𝑄) = { 0 })
Assertion
Ref Expression
lsatexch (𝜑𝑅 ⊆ (𝑈 𝑄))

Proof of Theorem lsatexch
StepHypRef Expression
1 lsatexch.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2 lveclmod 19319 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 lsatexch.s . . . . . 6 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
54lsssssubg 19171 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
63, 5syl 17 . . . 4 (𝜑𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
7 lsatexch.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑆)
86, 7sseldd 3753 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
9 lsatexch.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
10 lsatexch.r . . . . 5 (𝜑𝑅𝐴)
114, 9, 3, 10lsatlssel 34806 . . . 4 (𝜑𝑅𝑆)
126, 11sseldd 3753 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
13 lsatexch.p . . . 4 = (LSSum‘𝑊)
1413lsmub2 18279 . . 3 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑅 ⊆ (𝑈 𝑅))
158, 12, 14syl2anc 573 . 2 (𝜑𝑅 ⊆ (𝑈 𝑅))
16 eqid 2771 . . 3 ( ⋖L𝑊) = ( ⋖L𝑊)
174, 13lsmcl 19296 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑅𝑆) → (𝑈 𝑅) ∈ 𝑆)
183, 7, 11, 17syl3anc 1476 . . 3 (𝜑 → (𝑈 𝑅) ∈ 𝑆)
19 lsatexch.q . . . . 5 (𝜑𝑄𝐴)
204, 9, 3, 19lsatlssel 34806 . . . 4 (𝜑𝑄𝑆)
214, 13lsmcl 19296 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑄𝑆) → (𝑈 𝑄) ∈ 𝑆)
223, 7, 20, 21syl3anc 1476 . . 3 (𝜑 → (𝑈 𝑄) ∈ 𝑆)
23 lsatexch.z . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈𝑄) = { 0 })
24 lsatexch.o . . . . . . . 8 0 = (0g𝑊)
254, 13, 24, 9, 16, 1, 7, 19lcvp 34849 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑈𝑄) = { 0 } ↔ 𝑈( ⋖L𝑊)(𝑈 𝑄)))
2623, 25mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑𝑈( ⋖L𝑊)(𝑈 𝑄))
274, 16, 1, 7, 22, 26lcvpss 34833 . . . . 5 (𝜑𝑈 ⊊ (𝑈 𝑄))
2813lsmub1 18278 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑈 ⊆ (𝑈 𝑅))
298, 12, 28syl2anc 573 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ⊆ (𝑈 𝑅))
30 lsatexch.l . . . . . 6 (𝜑𝑄 ⊆ (𝑈 𝑅))
316, 20sseldd 3753 . . . . . . 7 (𝜑𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊))
326, 18sseldd 3753 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈 𝑅) ∈ (SubGrp‘𝑊))
3313lsmlub 18285 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑈 𝑅) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑈 ⊆ (𝑈 𝑅) ∧ 𝑄 ⊆ (𝑈 𝑅)) ↔ (𝑈 𝑄) ⊆ (𝑈 𝑅)))
348, 31, 32, 33syl3anc 1476 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑈 ⊆ (𝑈 𝑅) ∧ 𝑄 ⊆ (𝑈 𝑅)) ↔ (𝑈 𝑄) ⊆ (𝑈 𝑅)))
3529, 30, 34mpbi2and 691 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 𝑄) ⊆ (𝑈 𝑅))
3627, 35psssstrd 3866 . . . 4 (𝜑𝑈 ⊊ (𝑈 𝑅))
374, 13, 9, 16, 1, 7, 10lcv2 34851 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 ⊊ (𝑈 𝑅) ↔ 𝑈( ⋖L𝑊)(𝑈 𝑅)))
3836, 37mpbid 222 . . 3 (𝜑𝑈( ⋖L𝑊)(𝑈 𝑅))
394, 16, 1, 7, 18, 22, 38, 27, 35lcvnbtwn2 34836 . 2 (𝜑 → (𝑈 𝑄) = (𝑈 𝑅))
4015, 39sseqtr4d 3791 1 (𝜑𝑅 ⊆ (𝑈 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  cin 3722  wss 3723  wpss 3724  {csn 4317   class class class wbr 4787  cfv 6030  (class class class)co 6796  0gc0g 16308  SubGrpcsubg 17796  LSSumclsm 18256  LModclmod 19073  LSubSpclss 19142  LVecclvec 19315  LSAtomsclsa 34783  L clcv 34827
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-tpos 7508  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-0g 16310  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-subg 17799  df-cntz 17957  df-oppg 17983  df-lsm 18258  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-drng 18959  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lsp 19185  df-lvec 19316  df-lsatoms 34785  df-lcv 34828
This theorem is referenced by:  lsatexch1  34855
  Copyright terms: Public domain W3C validator