Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcvatlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatcvatlem 34857
 Description: Lemma for lsatcvat 34858. (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcvat.o 0 = (0g𝑊)
lsatcvat.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsatcvat.p = (LSSum‘𝑊)
lsatcvat.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcvat.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lsatcvat.u (𝜑𝑈𝑆)
lsatcvat.q (𝜑𝑄𝐴)
lsatcvat.r (𝜑𝑅𝐴)
lsatcvat.n (𝜑𝑈 ≠ { 0 })
lsatcvat.l (𝜑𝑈 ⊊ (𝑄 𝑅))
lsatcvat.m (𝜑 → ¬ 𝑄𝑈)
Assertion
Ref Expression
lsatcvatlem (𝜑𝑈𝐴)

Proof of Theorem lsatcvatlem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsatcvat.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2 lsatcvat.o . . 3 0 = (0g𝑊)
3 lsatcvat.a . . 3 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
4 lsatcvat.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
5 lveclmod 19328 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
7 lsatcvat.u . . 3 (𝜑𝑈𝑆)
8 lsatcvat.n . . 3 (𝜑𝑈 ≠ { 0 })
91, 2, 3, 6, 7, 8lssatomic 34819 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 𝑥𝑈)
10 eqid 2760 . . . . 5 ( ⋖L𝑊) = ( ⋖L𝑊)
1143ad2ant1 1128 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
1263ad2ant1 1128 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
13 simp2 1132 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑥𝐴)
141, 3, 12, 13lsatlssel 34805 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑥𝑆)
15 lsatcvat.q . . . . . . . 8 (𝜑𝑄𝐴)
161, 3, 6, 15lsatlssel 34805 . . . . . . 7 (𝜑𝑄𝑆)
17163ad2ant1 1128 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑄𝑆)
18 lsatcvat.p . . . . . . 7 = (LSSum‘𝑊)
191, 18lsmcl 19305 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑄𝑆𝑥𝑆) → (𝑄 𝑥) ∈ 𝑆)
2012, 17, 14, 19syl3anc 1477 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → (𝑄 𝑥) ∈ 𝑆)
2173ad2ant1 1128 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑈𝑆)
22 lsatcvat.m . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ 𝑄𝑈)
23223ad2ant1 1128 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → ¬ 𝑄𝑈)
24 sseq1 3767 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑄 → (𝑥𝑈𝑄𝑈))
2524biimpcd 239 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑈 → (𝑥 = 𝑄𝑄𝑈))
2625necon3bd 2946 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑈 → (¬ 𝑄𝑈𝑥𝑄))
27263ad2ant3 1130 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → (¬ 𝑄𝑈𝑥𝑄))
2823, 27mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑥𝑄)
29153ad2ant1 1128 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑄𝐴)
302, 3, 11, 13, 29lsatnem0 34853 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → (𝑥𝑄 ↔ (𝑥𝑄) = { 0 }))
3128, 30mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → (𝑥𝑄) = { 0 })
321, 18, 2, 3, 10, 11, 14, 29lcvp 34848 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → ((𝑥𝑄) = { 0 } ↔ 𝑥( ⋖L𝑊)(𝑥 𝑄)))
3331, 32mpbid 222 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑥( ⋖L𝑊)(𝑥 𝑄))
34 lmodabl 19132 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
3512, 34syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑊 ∈ Abel)
361lsssssubg 19180 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
3712, 36syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
3837, 14sseldd 3745 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊))
3937, 17sseldd 3745 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊))
4018lsmcom 18481 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑥 𝑄) = (𝑄 𝑥))
4135, 38, 39, 40syl3anc 1477 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → (𝑥 𝑄) = (𝑄 𝑥))
4233, 41breqtrd 4830 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑥( ⋖L𝑊)(𝑄 𝑥))
43 simp3 1133 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑥𝑈)
44 lsatcvat.l . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ⊊ (𝑄 𝑅))
45443ad2ant1 1128 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑈 ⊊ (𝑄 𝑅))
4618lsmub1 18291 . . . . . . . 8 ((𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑄 ⊆ (𝑄 𝑥))
4739, 38, 46syl2anc 696 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑄 ⊆ (𝑄 𝑥))
48 lsatcvat.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅𝐴)
49483ad2ant1 1128 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑅𝐴)
5044pssssd 3846 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ⊆ (𝑄 𝑅))
51503ad2ant1 1128 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑈 ⊆ (𝑄 𝑅))
5243, 51sstrd 3754 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑥 ⊆ (𝑄 𝑅))
5318, 3, 11, 13, 49, 29, 52, 28lsatexch1 34854 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑅 ⊆ (𝑄 𝑥))
541, 3, 6, 48lsatlssel 34805 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅𝑆)
55543ad2ant1 1128 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑅𝑆)
5637, 55sseldd 3745 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
5737, 20sseldd 3745 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → (𝑄 𝑥) ∈ (SubGrp‘𝑊))
5818lsmlub 18298 . . . . . . . 8 ((𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑄 𝑥) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑄 ⊆ (𝑄 𝑥) ∧ 𝑅 ⊆ (𝑄 𝑥)) ↔ (𝑄 𝑅) ⊆ (𝑄 𝑥)))
5939, 56, 57, 58syl3anc 1477 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → ((𝑄 ⊆ (𝑄 𝑥) ∧ 𝑅 ⊆ (𝑄 𝑥)) ↔ (𝑄 𝑅) ⊆ (𝑄 𝑥)))
6047, 53, 59mpbi2and 994 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → (𝑄 𝑅) ⊆ (𝑄 𝑥))
6145, 60psssstrd 3858 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑈 ⊊ (𝑄 𝑥))
621, 10, 11, 14, 20, 21, 42, 43, 61lcvnbtwn3 34836 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑈 = 𝑥)
6362, 13eqeltrd 2839 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴𝑥𝑈) → 𝑈𝐴)
6463rexlimdv3a 3171 . 2 (𝜑 → (∃𝑥𝐴 𝑥𝑈𝑈𝐴))
659, 64mpd 15 1 (𝜑𝑈𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∃wrex 3051   ∩ cin 3714   ⊆ wss 3715   ⊊ wpss 3716  {csn 4321   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  0gc0g 16322  SubGrpcsubg 17809  LSSumclsm 18269  Abelcabl 18414  LModclmod 19085  LSubSpclss 19154  LVecclvec 19324  LSAtomsclsa 34782   ⋖L clcv 34826 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-tpos 7522  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-0g 16324  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-subg 17812  df-cntz 17970  df-oppg 17996  df-lsm 18271  df-cmn 18415  df-abl 18416  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-oppr 18843  df-dvdsr 18861  df-unit 18862  df-invr 18892  df-drng 18971  df-lmod 19087  df-lss 19155  df-lsp 19194  df-lvec 19325  df-lsatoms 34784  df-lcv 34827 This theorem is referenced by:  lsatcvat  34858
 Copyright terms: Public domain W3C validator