Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatcv1 34857
Description: Two atoms covering the zero subspace are equal. (atcv1 29579 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcv1.o 0 = (0g𝑊)
lsatcv1.p = (LSSum‘𝑊)
lsatcv1.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsatcv1.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcv1.c 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
lsatcv1.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lsatcv1.u (𝜑𝑈𝑆)
lsatcv1.q (𝜑𝑄𝐴)
lsatcv1.r (𝜑𝑅𝐴)
lsatcv1.l (𝜑𝑈𝐶(𝑄 𝑅))
Assertion
Ref Expression
lsatcv1 (𝜑 → (𝑈 = { 0 } ↔ 𝑄 = 𝑅))

Proof of Theorem lsatcv1
StepHypRef Expression
1 lsatcv1.l . . . 4 (𝜑𝑈𝐶(𝑄 𝑅))
2 breq1 4790 . . . 4 (𝑈 = { 0 } → (𝑈𝐶(𝑄 𝑅) ↔ { 0 }𝐶(𝑄 𝑅)))
31, 2syl5ibcom 235 . . 3 (𝜑 → (𝑈 = { 0 } → { 0 }𝐶(𝑄 𝑅)))
4 lsatcv1.o . . . 4 0 = (0g𝑊)
5 lsatcv1.p . . . 4 = (LSSum‘𝑊)
6 lsatcv1.a . . . 4 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
7 lsatcv1.c . . . 4 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
8 lsatcv1.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
9 lsatcv1.q . . . 4 (𝜑𝑄𝐴)
10 lsatcv1.r . . . 4 (𝜑𝑅𝐴)
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10lsatcv0eq 34856 . . 3 (𝜑 → ({ 0 }𝐶(𝑄 𝑅) ↔ 𝑄 = 𝑅))
123, 11sylibd 229 . 2 (𝜑 → (𝑈 = { 0 } → 𝑄 = 𝑅))
131adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝑄 = 𝑅) → 𝑈𝐶(𝑄 𝑅))
14 lsatcv1.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
158adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝑄 = 𝑅) → 𝑊 ∈ LVec)
16 lsatcv1.u . . . . . 6 (𝜑𝑈𝑆)
1716adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝑄 = 𝑅) → 𝑈𝑆)
18 oveq1 6803 . . . . . . 7 (𝑄 = 𝑅 → (𝑄 𝑅) = (𝑅 𝑅))
19 lveclmod 19319 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
208, 19syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2114, 6, 20, 10lsatlssel 34806 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅𝑆)
2214lsssubg 19170 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝑆) → 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
2320, 21, 22syl2anc 573 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
245lsmidm 18284 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊) → (𝑅 𝑅) = 𝑅)
2523, 24syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅 𝑅) = 𝑅)
2618, 25sylan9eqr 2827 . . . . . 6 ((𝜑𝑄 = 𝑅) → (𝑄 𝑅) = 𝑅)
2710adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑄 = 𝑅) → 𝑅𝐴)
2826, 27eqeltrd 2850 . . . . 5 ((𝜑𝑄 = 𝑅) → (𝑄 𝑅) ∈ 𝐴)
294, 14, 6, 7, 15, 17, 28lsatcveq0 34841 . . . 4 ((𝜑𝑄 = 𝑅) → (𝑈𝐶(𝑄 𝑅) ↔ 𝑈 = { 0 }))
3013, 29mpbid 222 . . 3 ((𝜑𝑄 = 𝑅) → 𝑈 = { 0 })
3130ex 397 . 2 (𝜑 → (𝑄 = 𝑅𝑈 = { 0 }))
3212, 31impbid 202 1 (𝜑 → (𝑈 = { 0 } ↔ 𝑄 = 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  {csn 4317   class class class wbr 4787  cfv 6030  (class class class)co 6796  0gc0g 16308  SubGrpcsubg 17796  LSSumclsm 18256  LModclmod 19073  LSubSpclss 19142  LVecclvec 19315  LSAtomsclsa 34783  L clcv 34827
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-tpos 7508  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-0g 16310  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-subg 17799  df-cntz 17957  df-oppg 17983  df-lsm 18258  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-drng 18959  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lsp 19185  df-lvec 19316  df-lsatoms 34785  df-lcv 34828
This theorem is referenced by:  lsatcvat2  34860
  Copyright terms: Public domain W3C validator