Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lptioo1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lptioo1 40367
Description: The lower bound of an open interval is a limit point of the interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lptioo1.1 𝐽 = (topGen‘ran (,))
lptioo1.2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
lptioo1.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
lptioo1.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
lptioo1 (𝜑𝐴 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴(,)𝐵)))

Proof of Theorem lptioo1
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difssd 3881 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴}) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
2 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
3 lbioo 12399 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵)
4 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
54biimpcd 239 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑥 = 𝐴𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
63, 5mtoi 190 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ¬ 𝑥 = 𝐴)
76adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑥 = 𝐴)
8 velsn 4337 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {𝐴} ↔ 𝑥 = 𝐴)
97, 8sylnibr 318 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑥 ∈ {𝐴})
102, 9eldifd 3726 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴}))
1110ex 449 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴})))
1211ssrdv 3750 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴}))
131, 12eqssd 3761 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴}) = (𝐴(,)𝐵))
1413ineq2d 3957 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴})) = ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐵)))
1514ad2antrr 764 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴})) = ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐵)))
16 simplrl 819 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑎 ∈ ℝ*)
17 simplrr 820 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝑏 ∈ ℝ*)
18 lptioo1.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1918rexrd 10281 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
20 lptioo1.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
2119, 20jca 555 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
2221ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
23 iooin 12402 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐵)) = (if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵)))
2416, 17, 22, 23syl21anc 1476 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐵)) = (if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵)))
25 elioo3g 12397 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) ↔ ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝑎 < 𝐴𝐴 < 𝑏)))
2625biimpi 206 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝑎 < 𝐴𝐴 < 𝑏)))
2726simpld 477 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*))
2827simp1d 1137 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑎 ∈ ℝ*)
2927simp3d 1139 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3026simprd 482 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → (𝑎 < 𝐴𝐴 < 𝑏))
3130simpld 477 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑎 < 𝐴)
3228, 29, 31xrltled 39985 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝑎𝐴)
3332iftrued 4238 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) = 𝐴)
3433adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) = 𝐴)
3530simprd 482 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝐴 < 𝑏)
3635ad2antlr 765 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ 𝑏𝐵) → 𝐴 < 𝑏)
37 iftrue 4236 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏𝐵 → if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵) = 𝑏)
3837eqcomd 2766 . . . . . . . . . . 11 (𝑏𝐵𝑏 = if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵))
3938adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑏 = if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵))
4036, 39breqtrd 4830 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ 𝑏𝐵) → 𝐴 < if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵))
41 lptioo1.4 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 < 𝐵)
4241ad3antrrr 768 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑏𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
43 iffalse 4239 . . . . . . . . . . . 12 𝑏𝐵 → if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵) = 𝐵)
4443eqcomd 2766 . . . . . . . . . . 11 𝑏𝐵𝐵 = if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵))
4544adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑏𝐵) → 𝐵 = if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵))
4642, 45breqtrd 4830 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑏𝐵) → 𝐴 < if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵))
4740, 46pm2.61dan 867 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → 𝐴 < if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵))
4834, 47eqbrtrd 4826 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) < if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵))
4919ad3antrrr 768 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ 𝑎𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5016adantr 472 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑎𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ*)
5149, 50ifclda 4264 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) ∈ ℝ*)
5217adantr 472 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ*)
5320ad3antrrr 768 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑏𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5452, 53ifclda 4264 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵) ∈ ℝ*)
55 ioon0 12394 . . . . . . . 8 ((if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) ∈ ℝ* ∧ if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵) ∈ ℝ*) → ((if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵)) ≠ ∅ ↔ if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) < if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵)))
5651, 54, 55syl2anc 696 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵)) ≠ ∅ ↔ if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎) < if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵)))
5748, 56mpbird 247 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (if(𝑎𝐴, 𝐴, 𝑎)(,)if(𝑏𝐵, 𝑏, 𝐵)) ≠ ∅)
5824, 57eqnetrd 2999 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴(,)𝐵)) ≠ ∅)
5915, 58eqnetrd 2999 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴})) ≠ ∅)
6059ex 449 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*)) → (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴})) ≠ ∅))
6160ralrimivva 3109 . 2 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴})) ≠ ∅))
62 lptioo1.1 . . 3 𝐽 = (topGen‘ran (,))
63 ioossre 12428 . . . 4 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
6463a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
6562, 64, 18islptre 40354 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴(,)𝐵)) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* (𝐴 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝐴})) ≠ ∅)))
6661, 65mpbird 247 1 (𝜑𝐴 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴(,)𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  cdif 3712  cin 3714  wss 3715  c0 4058  ifcif 4230  {csn 4321   class class class wbr 4804  ran crn 5267  cfv 6049  (class class class)co 6813  cr 10127  *cxr 10265   < clt 10266  cle 10267  (,)cioo 12368  topGenctg 16300  limPtclp 21140
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-q 11982  df-ioo 12372  df-topgen 16306  df-top 20901  df-topon 20918  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-nei 21104  df-lp 21142
This theorem is referenced by:  lptioo1cn  40381  fouriersw  40951
  Copyright terms: Public domain W3C validator