Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lpssat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lpssat 34822
Description: Two subspaces in a proper subset relationship imply the existence of an atom less than or equal to one but not the other. (chpssati 29562 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lpssat.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lpssat.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lpssat.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lpssat.t (𝜑𝑇𝑆)
lpssat.u (𝜑𝑈𝑆)
lpssat.l (𝜑𝑇𝑈)
Assertion
Ref Expression
lpssat (𝜑 → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑈 ∧ ¬ 𝑞𝑇))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝑆,𝑞   𝑇,𝑞   𝑈,𝑞   𝑊,𝑞
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑞)

Proof of Theorem lpssat
StepHypRef Expression
1 lpssat.l . . . 4 (𝜑𝑇𝑈)
2 dfpss3 3843 . . . . 5 (𝑇𝑈 ↔ (𝑇𝑈 ∧ ¬ 𝑈𝑇))
32simprbi 484 . . . 4 (𝑇𝑈 → ¬ 𝑈𝑇)
41, 3syl 17 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑈𝑇)
5 iman 388 . . . . 5 ((𝑞𝑈𝑞𝑇) ↔ ¬ (𝑞𝑈 ∧ ¬ 𝑞𝑇))
65ralbii 3129 . . . 4 (∀𝑞𝐴 (𝑞𝑈𝑞𝑇) ↔ ∀𝑞𝐴 ¬ (𝑞𝑈 ∧ ¬ 𝑞𝑇))
7 ss2rab 3827 . . . . 5 ({𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇} ↔ ∀𝑞𝐴 (𝑞𝑈𝑞𝑇))
8 lpssat.w . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
98adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ {𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇}) → 𝑊 ∈ LMod)
10 lpssat.s . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
11 lpssat.a . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
1210, 11lsatlss 34805 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ LMod → 𝐴𝑆)
13 rabss2 3834 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑆 → {𝑞𝐴𝑞𝑇} ⊆ {𝑞𝑆𝑞𝑇})
14 uniss 4595 . . . . . . . . . . 11 ({𝑞𝐴𝑞𝑇} ⊆ {𝑞𝑆𝑞𝑇} → {𝑞𝐴𝑞𝑇} ⊆ {𝑞𝑆𝑞𝑇})
158, 12, 13, 144syl 19 . . . . . . . . . 10 (𝜑 {𝑞𝐴𝑞𝑇} ⊆ {𝑞𝑆𝑞𝑇})
16 lpssat.t . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇𝑆)
17 unimax 4609 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇𝑆 {𝑞𝑆𝑞𝑇} = 𝑇)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 {𝑞𝑆𝑞𝑇} = 𝑇)
19 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2019, 10lssss 19147 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇𝑆𝑇 ⊆ (Base‘𝑊))
2116, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ⊆ (Base‘𝑊))
2218, 21eqsstrd 3788 . . . . . . . . . 10 (𝜑 {𝑞𝑆𝑞𝑇} ⊆ (Base‘𝑊))
2315, 22sstrd 3762 . . . . . . . . 9 (𝜑 {𝑞𝐴𝑞𝑇} ⊆ (Base‘𝑊))
2423adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ {𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇}) → {𝑞𝐴𝑞𝑇} ⊆ (Base‘𝑊))
25 uniss 4595 . . . . . . . . 9 ({𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇} → {𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇})
2625adantl 467 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ {𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇}) → {𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇})
27 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
2819, 27lspss 19197 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑞𝐴𝑞𝑇} ⊆ (Base‘𝑊) ∧ {𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇}) → ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑞𝐴𝑞𝑈}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑞𝐴𝑞𝑇}))
299, 24, 26, 28syl3anc 1476 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ {𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇}) → ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑞𝐴𝑞𝑈}) ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑞𝐴𝑞𝑇}))
30 lpssat.u . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈𝑆)
3110, 27, 11lssats 34821 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑞𝐴𝑞𝑈}))
328, 30, 31syl2anc 573 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑞𝐴𝑞𝑈}))
3332adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ {𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇}) → 𝑈 = ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑞𝐴𝑞𝑈}))
3410, 27, 11lssats 34821 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆) → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑞𝐴𝑞𝑇}))
358, 16, 34syl2anc 573 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑞𝐴𝑞𝑇}))
3635adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ {𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇}) → 𝑇 = ((LSpan‘𝑊)‘ {𝑞𝐴𝑞𝑇}))
3729, 33, 363sstr4d 3797 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ {𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇}) → 𝑈𝑇)
3837ex 397 . . . . 5 (𝜑 → ({𝑞𝐴𝑞𝑈} ⊆ {𝑞𝐴𝑞𝑇} → 𝑈𝑇))
397, 38syl5bir 233 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑞𝐴 (𝑞𝑈𝑞𝑇) → 𝑈𝑇))
406, 39syl5bir 233 . . 3 (𝜑 → (∀𝑞𝐴 ¬ (𝑞𝑈 ∧ ¬ 𝑞𝑇) → 𝑈𝑇))
414, 40mtod 189 . 2 (𝜑 → ¬ ∀𝑞𝐴 ¬ (𝑞𝑈 ∧ ¬ 𝑞𝑇))
42 dfrex2 3144 . 2 (∃𝑞𝐴 (𝑞𝑈 ∧ ¬ 𝑞𝑇) ↔ ¬ ∀𝑞𝐴 ¬ (𝑞𝑈 ∧ ¬ 𝑞𝑇))
4341, 42sylibr 224 1 (𝜑 → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑈 ∧ ¬ 𝑞𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wrex 3062  {crab 3065  wss 3723  wpss 3724   cuni 4574  cfv 6031  Basecbs 16064  LModclmod 19073  LSubSpclss 19142  LSpanclspn 19184  LSAtomsclsa 34783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lsp 19185  df-lsatoms 34785
This theorem is referenced by:  lrelat  34823  dihglblem6  37150  dochexmidlem8  37277
  Copyright terms: Public domain W3C validator