Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplnnlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lplnnlt 35346
Description: Two lattice planes cannot satisfy the less than relation. (Contributed by NM, 7-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnnlt.s < = (lt‘𝐾)
lplnnlt.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lplnnlt ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → ¬ 𝑋 < 𝑌)

Proof of Theorem lplnnlt
StepHypRef Expression
1 lplnnlt.s . . . . 5 < = (lt‘𝐾)
21pltirr 17156 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃) → ¬ 𝑋 < 𝑋)
323adant3 1126 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → ¬ 𝑋 < 𝑋)
4 breq2 4800 . . . 4 (𝑋 = 𝑌 → (𝑋 < 𝑋𝑋 < 𝑌))
54notbid 307 . . 3 (𝑋 = 𝑌 → (¬ 𝑋 < 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 < 𝑌))
63, 5syl5ibcom 235 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋 = 𝑌 → ¬ 𝑋 < 𝑌))
7 eqid 2752 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
87, 1pltle 17154 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋 < 𝑌𝑋(le‘𝐾)𝑌))
9 lplnnlt.p . . . . 5 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
107, 9lplncmp 35343 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌𝑋 = 𝑌))
118, 10sylibd 229 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋 < 𝑌𝑋 = 𝑌))
1211necon3ad 2937 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋𝑌 → ¬ 𝑋 < 𝑌))
136, 12pm2.61dne 3010 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑃) → ¬ 𝑋 < 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  w3a 1072   = wceq 1624  wcel 2131   class class class wbr 4796  cfv 6041  lecple 16142  ltcplt 17134  HLchlt 35132  LPlanesclpl 35273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-preset 17121  df-poset 17139  df-plt 17151  df-lub 17167  df-glb 17168  df-join 17169  df-meet 17170  df-p0 17232  df-lat 17239  df-clat 17301  df-oposet 34958  df-ol 34960  df-oml 34961  df-covers 35048  df-ats 35049  df-atl 35080  df-cvlat 35104  df-hlat 35133  df-llines 35279  df-lplanes 35280
This theorem is referenced by:  lvolnle3at  35363
  Copyright terms: Public domain W3C validator