Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplnexatN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lplnexatN 35167
 Description: Given a lattice line on a lattice plane, there is an atom whose join with the line equals the plane. (Contributed by NM, 29-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnexat.l = (le‘𝐾)
lplnexat.j = (join‘𝐾)
lplnexat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lplnexat.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
lplnexat.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lplnexatN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) ∧ 𝑌 𝑋) → ∃𝑞𝐴𝑞 𝑌𝑋 = (𝑌 𝑞)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝐾,𝑞   ,𝑞   𝑌,𝑞   𝑋,𝑞
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑞)   (𝑞)   𝑁(𝑞)

Proof of Theorem lplnexatN
StepHypRef Expression
1 simp1 1081 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp3 1083 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) → 𝑌𝑁)
3 simp2 1082 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) → 𝑋𝑃)
41, 2, 33jca 1261 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝑁𝑋𝑃))
5 lplnexat.l . . . 4 = (le‘𝐾)
6 eqid 2651 . . . 4 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
7 lplnexat.n . . . 4 𝑁 = (LLines‘𝐾)
8 lplnexat.p . . . 4 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
95, 6, 7, 8llncvrlpln2 35161 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝑁𝑋𝑃) ∧ 𝑌 𝑋) → 𝑌( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
104, 9sylan 487 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) ∧ 𝑌 𝑋) → 𝑌( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
11 simpl1 1084 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) ∧ 𝑌 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
12 simpl3 1086 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) ∧ 𝑌 𝑋) → 𝑌𝑁)
13 eqid 2651 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1413, 7llnbase 35113 . . . . 5 (𝑌𝑁𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
1512, 14syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) ∧ 𝑌 𝑋) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
16 simpl2 1085 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) ∧ 𝑌 𝑋) → 𝑋𝑃)
1713, 8lplnbase 35138 . . . . 5 (𝑋𝑃𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
1816, 17syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) ∧ 𝑌 𝑋) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
19 lplnexat.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
20 lplnexat.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2113, 5, 19, 6, 20cvrval3 35017 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑌( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞𝐴𝑞 𝑌 ∧ (𝑌 𝑞) = 𝑋)))
2211, 15, 18, 21syl3anc 1366 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) ∧ 𝑌 𝑋) → (𝑌( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞𝐴𝑞 𝑌 ∧ (𝑌 𝑞) = 𝑋)))
23 eqcom 2658 . . . . 5 ((𝑌 𝑞) = 𝑋𝑋 = (𝑌 𝑞))
2423anbi2i 730 . . . 4 ((¬ 𝑞 𝑌 ∧ (𝑌 𝑞) = 𝑋) ↔ (¬ 𝑞 𝑌𝑋 = (𝑌 𝑞)))
2524rexbii 3070 . . 3 (∃𝑞𝐴𝑞 𝑌 ∧ (𝑌 𝑞) = 𝑋) ↔ ∃𝑞𝐴𝑞 𝑌𝑋 = (𝑌 𝑞)))
2622, 25syl6bb 276 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) ∧ 𝑌 𝑋) → (𝑌( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞𝐴𝑞 𝑌𝑋 = (𝑌 𝑞))))
2710, 26mpbid 222 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑃𝑌𝑁) ∧ 𝑌 𝑋) → ∃𝑞𝐴𝑞 𝑌𝑋 = (𝑌 𝑞)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∃wrex 2942   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  lecple 15995  joincjn 16991   ⋖ ccvr 34867  Atomscatm 34868  HLchlt 34955  LLinesclln 35095  LPlanesclpl 35096 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-lat 17093  df-clat 17155  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-llines 35102  df-lplanes 35103 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator