Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplnbase Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lplnbase 34639
Description: A lattice plane is a lattice element. (Contributed by NM, 17-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnbase.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lplnbase.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lplnbase (𝑋𝑃𝑋𝐵)

Proof of Theorem lplnbase
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0i 3912 . . . 4 (𝑋𝑃 → ¬ 𝑃 = ∅)
2 lplnbase.p . . . . 5 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
32eqeq1i 2625 . . . 4 (𝑃 = ∅ ↔ (LPlanes‘𝐾) = ∅)
41, 3sylnib 318 . . 3 (𝑋𝑃 → ¬ (LPlanes‘𝐾) = ∅)
5 fvprc 6172 . . 3 𝐾 ∈ V → (LPlanes‘𝐾) = ∅)
64, 5nsyl2 142 . 2 (𝑋𝑃𝐾 ∈ V)
7 lplnbase.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
8 eqid 2620 . . . 4 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
9 eqid 2620 . . . 4 (LLines‘𝐾) = (LLines‘𝐾)
107, 8, 9, 2islpln 34635 . . 3 (𝐾 ∈ V → (𝑋𝑃 ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ (LLines‘𝐾)𝑥( ⋖ ‘𝐾)𝑋)))
1110simprbda 652 . 2 ((𝐾 ∈ V ∧ 𝑋𝑃) → 𝑋𝐵)
126, 11mpancom 702 1 (𝑋𝑃𝑋𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1481  wcel 1988  wrex 2910  Vcvv 3195  c0 3907   class class class wbr 4644  cfv 5876  Basecbs 15838  ccvr 34368  LLinesclln 34596  LPlanesclpl 34597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fv 5884  df-lplanes 34604
This theorem is referenced by:  islpln2  34641  llnmlplnN  34644  lplnnle2at  34646  lplnneat  34650  lplnnelln  34651  llncvrlpln2  34662  2lplnmN  34664  lplncmp  34667  lplnexatN  34668  lplnexllnN  34669  2llnjaN  34671  islvol3  34681  lvoli3  34682  lvolnle3at  34687  lplncvrlvol2  34720  lplncvrlvol  34721  lvolcmp  34722  2lplnm2N  34726  2lplnmj  34727  dalemyeb  34754  dalem10  34778  dalem16  34784  dalem44  34821  dalem55  34832
  Copyright terms: Public domain W3C validator