MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lpbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lpbl 22530
Description: Every ball around a limit point 𝑃 of a subset 𝑆 includes a member of 𝑆 (even if 𝑃𝑆). (Contributed by NM, 9-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mopni.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
lpbl (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥𝑆 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝐽   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑃   𝑥,𝑋

Proof of Theorem lpbl
StepHypRef Expression
1 ineq1 3951 . . . 4 (𝑥 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) → (𝑥 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) = ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})))
21neeq1d 2992 . . 3 (𝑥 = (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) → ((𝑥 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅ ↔ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅))
3 simpl3 1232 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆))
4 simpl1 1228 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5 mopni.1 . . . . . . 7 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
65mopntop 22467 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
74, 6syl 17 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐽 ∈ Top)
8 simpl2 1230 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑆𝑋)
95mopnuni 22468 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
104, 9syl 17 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑋 = 𝐽)
118, 10sseqtrd 3783 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑆 𝐽)
12 eqid 2761 . . . . . . . 8 𝐽 = 𝐽
1312lpss 21169 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 𝐽) → ((limPt‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝐽)
147, 11, 13syl2anc 696 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((limPt‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝐽)
1514, 3sseldd 3746 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 𝐽)
1612islp2 21172 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 𝐽𝑃 𝐽) → (𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑥 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅))
177, 11, 15, 16syl3anc 1477 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑥 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅))
183, 17mpbid 222 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑥 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅)
1915, 10eleqtrrd 2843 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃𝑋)
20 simpr 479 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑅 ∈ ℝ+)
215blnei 22529 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))
224, 19, 20, 21syl3anc 1477 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))
232, 18, 22rspcdva 3456 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅)
24 elin 3940 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ↔ (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})))
25 eldifi 3876 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) → 𝑥𝑆)
2625anim2i 594 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∧ 𝑥𝑆))
2726ancomd 466 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})) → (𝑥𝑆𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)))
2824, 27sylbi 207 . . . 4 (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) → (𝑥𝑆𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)))
2928eximi 1911 . . 3 (∃𝑥 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) → ∃𝑥(𝑥𝑆𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)))
30 n0 4075 . . 3 (((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})))
31 df-rex 3057 . . 3 (∃𝑥𝑆 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ ∃𝑥(𝑥𝑆𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅)))
3229, 30, 313imtr4i 281 . 2 (((𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅ → ∃𝑥𝑆 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅))
3323, 32syl 17 1 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝑃 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥𝑆 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wex 1853  wcel 2140  wne 2933  wral 3051  wrex 3052  cdif 3713  cin 3715  wss 3716  c0 4059  {csn 4322   cuni 4589  cfv 6050  (class class class)co 6815  +crp 12046  ∞Metcxmt 19954  ballcbl 19956  MetOpencmopn 19959  Topctop 20921  neicnei 21124  limPtclp 21161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-iin 4676  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-er 7914  df-map 8028  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-sup 8516  df-inf 8517  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-q 12003  df-rp 12047  df-xneg 12160  df-xadd 12161  df-xmul 12162  df-topgen 16327  df-psmet 19961  df-xmet 19962  df-bl 19964  df-mopn 19965  df-top 20922  df-topon 20939  df-bases 20973  df-cld 21046  df-ntr 21047  df-cls 21048  df-nei 21125  df-lp 21163
This theorem is referenced by:  limcrecl  40383
  Copyright terms: Public domain W3C validator