MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logtayl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logtayl2 24607
Description: Power series expression for the logarithm. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logtayl2.s 𝑆 = (1(ball‘(abs ∘ − ))1)
Assertion
Ref Expression
logtayl2 (𝐴𝑆 → seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑘 − 1)) / 𝑘) · ((𝐴 − 1)↑𝑘)))) ⇝ (log‘𝐴))
Distinct variable group:   𝐴,𝑘
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑘)

Proof of Theorem logtayl2
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11916 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11600 . . 3 (𝐴𝑆 → 1 ∈ ℤ)
3 neg1cn 11316 . . . 4 -1 ∈ ℂ
43a1i 11 . . 3 (𝐴𝑆 → -1 ∈ ℂ)
5 ax-1cn 10186 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
6 logtayl2.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (1(ball‘(abs ∘ − ))1)
76eleq2i 2831 . . . . . . . 8 (𝐴𝑆𝐴 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1))
8 cnxmet 22777 . . . . . . . . 9 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
9 1rp 12029 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ+
10 rpxr 12033 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ*)
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ*
12 elbl 22394 . . . . . . . . 9 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1(abs ∘ − )𝐴) < 1)))
138, 5, 11, 12mp3an 1573 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1(abs ∘ − )𝐴) < 1))
147, 13bitri 264 . . . . . . 7 (𝐴𝑆 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1(abs ∘ − )𝐴) < 1))
1514simplbi 478 . . . . . 6 (𝐴𝑆𝐴 ∈ ℂ)
16 subcl 10472 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
175, 15, 16sylancr 698 . . . . 5 (𝐴𝑆 → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
18 eqid 2760 . . . . . . . 8 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
1918cnmetdval 22775 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1(abs ∘ − )𝐴) = (abs‘(1 − 𝐴)))
205, 15, 19sylancr 698 . . . . . 6 (𝐴𝑆 → (1(abs ∘ − )𝐴) = (abs‘(1 − 𝐴)))
2114simprbi 483 . . . . . 6 (𝐴𝑆 → (1(abs ∘ − )𝐴) < 1)
2220, 21eqbrtrrd 4828 . . . . 5 (𝐴𝑆 → (abs‘(1 − 𝐴)) < 1)
23 logtayl 24605 . . . . 5 (((1 − 𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝐴)) < 1) → seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((1 − 𝐴)↑𝑘) / 𝑘))) ⇝ -(log‘(1 − (1 − 𝐴))))
2417, 22, 23syl2anc 696 . . . 4 (𝐴𝑆 → seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((1 − 𝐴)↑𝑘) / 𝑘))) ⇝ -(log‘(1 − (1 − 𝐴))))
25 nncan 10502 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝐴)) = 𝐴)
265, 15, 25sylancr 698 . . . . . 6 (𝐴𝑆 → (1 − (1 − 𝐴)) = 𝐴)
2726fveq2d 6356 . . . . 5 (𝐴𝑆 → (log‘(1 − (1 − 𝐴))) = (log‘𝐴))
2827negeqd 10467 . . . 4 (𝐴𝑆 → -(log‘(1 − (1 − 𝐴))) = -(log‘𝐴))
2924, 28breqtrd 4830 . . 3 (𝐴𝑆 → seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((1 − 𝐴)↑𝑘) / 𝑘))) ⇝ -(log‘𝐴))
30 oveq2 6821 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → ((1 − 𝐴)↑𝑘) = ((1 − 𝐴)↑𝑛))
31 id 22 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛𝑘 = 𝑛)
3230, 31oveq12d 6831 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → (((1 − 𝐴)↑𝑘) / 𝑘) = (((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛))
33 eqid 2760 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((1 − 𝐴)↑𝑘) / 𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((1 − 𝐴)↑𝑘) / 𝑘))
34 ovex 6841 . . . . . 6 (((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛) ∈ V
3532, 33, 34fvmpt 6444 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((1 − 𝐴)↑𝑘) / 𝑘))‘𝑛) = (((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛))
3635adantl 473 . . . 4 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((1 − 𝐴)↑𝑘) / 𝑘))‘𝑛) = (((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛))
37 nnnn0 11491 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
38 expcl 13072 . . . . . 6 (((1 − 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((1 − 𝐴)↑𝑛) ∈ ℂ)
3917, 37, 38syl2an 495 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((1 − 𝐴)↑𝑛) ∈ ℂ)
40 nncn 11220 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
4140adantl 473 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
42 nnne0 11245 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
4342adantl 473 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≠ 0)
4439, 41, 43divcld 10993 . . . 4 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
4536, 44eqeltrd 2839 . . 3 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((1 − 𝐴)↑𝑘) / 𝑘))‘𝑛) ∈ ℂ)
4639, 41, 43divnegd 11006 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → -(((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛) = (-((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛))
4744mulm1d 10674 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (-1 · (((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛)) = -(((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛))
4837adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
49 expcl 13072 . . . . . . . . . 10 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑛) ∈ ℂ)
503, 48, 49sylancr 698 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (-1↑𝑛) ∈ ℂ)
51 subcl 10472 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
5215, 5, 51sylancl 697 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑆 → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
53 expcl 13072 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 − 1) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴 − 1)↑𝑛) ∈ ℂ)
5452, 37, 53syl2an 495 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1)↑𝑛) ∈ ℂ)
5550, 54mulneg1d 10675 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (-(-1↑𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)) = -((-1↑𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)))
563a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → -1 ∈ ℂ)
57 neg1ne0 11318 . . . . . . . . . . . 12 -1 ≠ 0
5857a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → -1 ≠ 0)
59 nnz 11591 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
6059adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℤ)
6156, 58, 60expm1d 13212 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (-1↑(𝑛 − 1)) = ((-1↑𝑛) / -1))
625a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
63 ax-1ne0 10197 . . . . . . . . . . . 12 1 ≠ 0
6463a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → 1 ≠ 0)
6550, 62, 64divneg2d 11007 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → -((-1↑𝑛) / 1) = ((-1↑𝑛) / -1))
6650div1d 10985 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((-1↑𝑛) / 1) = (-1↑𝑛))
6766negeqd 10467 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → -((-1↑𝑛) / 1) = -(-1↑𝑛))
6861, 65, 673eqtr2d 2800 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (-1↑(𝑛 − 1)) = -(-1↑𝑛))
6968oveq1d 6828 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)) = (-(-1↑𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)))
7052mulm1d 10674 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑆 → (-1 · (𝐴 − 1)) = -(𝐴 − 1))
71 negsubdi2 10532 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 1) = (1 − 𝐴))
7215, 5, 71sylancl 697 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑆 → -(𝐴 − 1) = (1 − 𝐴))
7370, 72eqtr2d 2795 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑆 → (1 − 𝐴) = (-1 · (𝐴 − 1)))
7473oveq1d 6828 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑆 → ((1 − 𝐴)↑𝑛) = ((-1 · (𝐴 − 1))↑𝑛))
7574adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((1 − 𝐴)↑𝑛) = ((-1 · (𝐴 − 1))↑𝑛))
76 mulexp 13093 . . . . . . . . . . . 12 ((-1 ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 1) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1 · (𝐴 − 1))↑𝑛) = ((-1↑𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)))
773, 76mp3an1 1560 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 − 1) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1 · (𝐴 − 1))↑𝑛) = ((-1↑𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)))
7852, 37, 77syl2an 495 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((-1 · (𝐴 − 1))↑𝑛) = ((-1↑𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)))
7975, 78eqtrd 2794 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((1 − 𝐴)↑𝑛) = ((-1↑𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)))
8079negeqd 10467 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → -((1 − 𝐴)↑𝑛) = -((-1↑𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)))
8155, 69, 803eqtr4d 2804 . . . . . . 7 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)) = -((1 − 𝐴)↑𝑛))
8281oveq1d 6828 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)) / 𝑛) = (-((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛))
8346, 47, 823eqtr4d 2804 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (-1 · (((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛)) = (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)) / 𝑛))
84 nnm1nn0 11526 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
8584adantl 473 . . . . . . 7 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
86 expcl 13072 . . . . . . 7 ((-1 ∈ ℂ ∧ (𝑛 − 1) ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
873, 85, 86sylancr 698 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (-1↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
8887, 54, 41, 43div23d 11030 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)) / 𝑛) = (((-1↑(𝑛 − 1)) / 𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)))
8983, 88eqtr2d 2795 . . . 4 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (((-1↑(𝑛 − 1)) / 𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)) = (-1 · (((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛)))
90 oveq1 6820 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 − 1) = (𝑛 − 1))
9190oveq2d 6829 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → (-1↑(𝑘 − 1)) = (-1↑(𝑛 − 1)))
9291, 31oveq12d 6831 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → ((-1↑(𝑘 − 1)) / 𝑘) = ((-1↑(𝑛 − 1)) / 𝑛))
93 oveq2 6821 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐴 − 1)↑𝑘) = ((𝐴 − 1)↑𝑛))
9492, 93oveq12d 6831 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → (((-1↑(𝑘 − 1)) / 𝑘) · ((𝐴 − 1)↑𝑘)) = (((-1↑(𝑛 − 1)) / 𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)))
95 eqid 2760 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑘 − 1)) / 𝑘) · ((𝐴 − 1)↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑘 − 1)) / 𝑘) · ((𝐴 − 1)↑𝑘)))
96 ovex 6841 . . . . . 6 (((-1↑(𝑛 − 1)) / 𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)) ∈ V
9794, 95, 96fvmpt 6444 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑘 − 1)) / 𝑘) · ((𝐴 − 1)↑𝑘)))‘𝑛) = (((-1↑(𝑛 − 1)) / 𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)))
9897adantl 473 . . . 4 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑘 − 1)) / 𝑘) · ((𝐴 − 1)↑𝑘)))‘𝑛) = (((-1↑(𝑛 − 1)) / 𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)))
9936oveq2d 6829 . . . 4 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (-1 · ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((1 − 𝐴)↑𝑘) / 𝑘))‘𝑛)) = (-1 · (((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛)))
10089, 98, 993eqtr4d 2804 . . 3 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑘 − 1)) / 𝑘) · ((𝐴 − 1)↑𝑘)))‘𝑛) = (-1 · ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((1 − 𝐴)↑𝑘) / 𝑘))‘𝑛)))
1011, 2, 4, 29, 45, 100isermulc2 14587 . 2 (𝐴𝑆 → seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑘 − 1)) / 𝑘) · ((𝐴 − 1)↑𝑘)))) ⇝ (-1 · -(log‘𝐴)))
1026dvlog2lem 24597 . . . . . . . 8 𝑆 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))
103102sseli 3740 . . . . . . 7 (𝐴𝑆𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
104 eqid 2760 . . . . . . . 8 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
105104logdmn0 24585 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → 𝐴 ≠ 0)
106103, 105syl 17 . . . . . 6 (𝐴𝑆𝐴 ≠ 0)
10715, 106logcld 24516 . . . . 5 (𝐴𝑆 → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
108107negcld 10571 . . . 4 (𝐴𝑆 → -(log‘𝐴) ∈ ℂ)
109108mulm1d 10674 . . 3 (𝐴𝑆 → (-1 · -(log‘𝐴)) = --(log‘𝐴))
110107negnegd 10575 . . 3 (𝐴𝑆 → --(log‘𝐴) = (log‘𝐴))
111109, 110eqtrd 2794 . 2 (𝐴𝑆 → (-1 · -(log‘𝐴)) = (log‘𝐴))
112101, 111breqtrd 4830 1 (𝐴𝑆 → seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑘 − 1)) / 𝑘) · ((𝐴 − 1)↑𝑘)))) ⇝ (log‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  cdif 3712   class class class wbr 4804  cmpt 4881  ccom 5270  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133  -∞cmnf 10264  *cxr 10265   < clt 10266  cmin 10458  -cneg 10459   / cdiv 10876  cn 11212  0cn0 11484  cz 11569  +crp 12025  (,]cioc 12369  seqcseq 12995  cexp 13054  abscabs 14173  cli 14414  ∞Metcxmt 19933  ballcbl 19935  logclog 24500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-bc 13284  df-hash 13312  df-shft 14006  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-ef 14997  df-sin 14999  df-cos 15000  df-tan 15001  df-pi 15002  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-nei 21104  df-lp 21142  df-perf 21143  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-haus 21321  df-cmp 21392  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-cncf 22882  df-limc 23829  df-dv 23830  df-ulm 24330  df-log 24502
This theorem is referenced by:  stirlinglem5  40798
  Copyright terms: Public domain W3C validator