MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logsqvma2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logsqvma2 25431
Description: The Möbius inverse of logsqvma 25430. Equation 10.4.8 of [Shapiro], p. 418. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
logsqvma2 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑁 / 𝑑))↑2)) = (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑁 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑁) · (log‘𝑁))))
Distinct variable group:   𝑥,𝑑,𝑁

Proof of Theorem logsqvma2
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 12966 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (1...𝑘) ∈ Fin)
2 dvdsssfz1 15242 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘} ⊆ (1...𝑘))
3 ssfi 8345 . . . . . . . . . 10 (((1...𝑘) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘} ⊆ (1...𝑘)) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘} ∈ Fin)
41, 2, 3syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘} ∈ Fin)
5 ssrab2 3828 . . . . . . . . . . . 12 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘} ⊆ ℕ
6 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘}) → 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘})
75, 6sseldi 3742 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘}) → 𝑑 ∈ ℕ)
8 vmacl 25043 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ ℕ → (Λ‘𝑑) ∈ ℝ)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘}) → (Λ‘𝑑) ∈ ℝ)
10 dvdsdivcl 15240 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘}) → (𝑘 / 𝑑) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘})
115, 10sseldi 3742 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘}) → (𝑘 / 𝑑) ∈ ℕ)
12 vmacl 25043 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 / 𝑑) ∈ ℕ → (Λ‘(𝑘 / 𝑑)) ∈ ℝ)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘}) → (Λ‘(𝑘 / 𝑑)) ∈ ℝ)
149, 13remulcld 10262 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘}) → ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) ∈ ℝ)
154, 14fsumrecl 14664 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) ∈ ℝ)
16 vmacl 25043 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (Λ‘𝑘) ∈ ℝ)
17 nnrp 12035 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
1817relogcld 24568 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (log‘𝑘) ∈ ℝ)
1916, 18remulcld 10262 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘)) ∈ ℝ)
2015, 19readdcld 10261 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))) ∈ ℝ)
2120recnd 10260 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))) ∈ ℂ)
2221adantl 473 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))) ∈ ℂ)
23 eqid 2760 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))))
2422, 23fmptd 6548 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘)))):ℕ⟶ℂ)
25 ssrab2 3828 . . . . . . . . 9 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ⊆ ℕ
26 simpr 479 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛}) → 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛})
2725, 26sseldi 3742 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛}) → 𝑚 ∈ ℕ)
28 breq2 4808 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑚 → (𝑥𝑘𝑥𝑚))
2928rabbidv 3329 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑚 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚})
30 oveq1 6820 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 / 𝑑) = (𝑚 / 𝑑))
3130fveq2d 6356 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑚 → (Λ‘(𝑘 / 𝑑)) = (Λ‘(𝑚 / 𝑑)))
3231oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑚 → ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) = ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑚 / 𝑑))))
3332adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 = 𝑚𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘}) → ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) = ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑚 / 𝑑))))
3429, 33sumeq12dv 14636 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚 → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑚 / 𝑑))))
35 fveq2 6352 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑚 → (Λ‘𝑘) = (Λ‘𝑚))
36 fveq2 6352 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑚 → (log‘𝑘) = (log‘𝑚))
3735, 36oveq12d 6831 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚 → ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘)) = ((Λ‘𝑚) · (log‘𝑚)))
3834, 37oveq12d 6831 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))) = (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑚 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑚) · (log‘𝑚))))
39 ovex 6841 . . . . . . . . 9 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))) ∈ V
4038, 23, 39fvmpt3i 6449 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))))‘𝑚) = (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑚 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑚) · (log‘𝑚))))
4127, 40syl 17 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛}) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))))‘𝑚) = (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑚 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑚) · (log‘𝑚))))
4241sumeq2dv 14632 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))))‘𝑚) = Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑚 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑚) · (log‘𝑚))))
43 logsqvma 25430 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑚 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑚) · (log‘𝑚))) = ((log‘𝑛)↑2))
4443adantl 473 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑚} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑚 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑚) · (log‘𝑚))) = ((log‘𝑛)↑2))
4542, 44eqtr2d 2795 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((log‘𝑛)↑2) = Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))))‘𝑚))
4645mpteq2dva 4896 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((log‘𝑛)↑2)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑛} ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))))‘𝑚)))
4724, 46muinv 25118 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘)))) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑖} ((μ‘𝑗) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((log‘𝑛)↑2))‘(𝑖 / 𝑗)))))
4847fveq1d 6354 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))))‘𝑁) = ((𝑖 ∈ ℕ ↦ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑖} ((μ‘𝑗) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((log‘𝑛)↑2))‘(𝑖 / 𝑗))))‘𝑁))
49 breq2 4808 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → (𝑥𝑘𝑥𝑁))
5049rabbidv 3329 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
51 oveq1 6820 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑁 → (𝑘 / 𝑑) = (𝑁 / 𝑑))
5251fveq2d 6356 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑁 → (Λ‘(𝑘 / 𝑑)) = (Λ‘(𝑁 / 𝑑)))
5352oveq2d 6829 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) = ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑁 / 𝑑))))
5453adantr 472 . . . . 5 ((𝑘 = 𝑁𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘}) → ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) = ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑁 / 𝑑))))
5550, 54sumeq12dv 14636 . . . 4 (𝑘 = 𝑁 → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑁 / 𝑑))))
56 fveq2 6352 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → (Λ‘𝑘) = (Λ‘𝑁))
57 fveq2 6352 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → (log‘𝑘) = (log‘𝑁))
5856, 57oveq12d 6831 . . . 4 (𝑘 = 𝑁 → ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘)) = ((Λ‘𝑁) · (log‘𝑁)))
5955, 58oveq12d 6831 . . 3 (𝑘 = 𝑁 → (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))) = (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑁 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑁) · (log‘𝑁))))
6059, 23, 39fvmpt3i 6449 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑘} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑘 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑘) · (log‘𝑘))))‘𝑁) = (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑁 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑁) · (log‘𝑁))))
61 fveq2 6352 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑑 → (μ‘𝑗) = (μ‘𝑑))
62 oveq2 6821 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑑 → (𝑖 / 𝑗) = (𝑖 / 𝑑))
6362fveq2d 6356 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑑 → (log‘(𝑖 / 𝑗)) = (log‘(𝑖 / 𝑑)))
6463oveq1d 6828 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑑 → ((log‘(𝑖 / 𝑗))↑2) = ((log‘(𝑖 / 𝑑))↑2))
6561, 64oveq12d 6831 . . . . 5 (𝑗 = 𝑑 → ((μ‘𝑗) · ((log‘(𝑖 / 𝑗))↑2)) = ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑖 / 𝑑))↑2)))
6665cbvsumv 14625 . . . 4 Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑖} ((μ‘𝑗) · ((log‘(𝑖 / 𝑗))↑2)) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑖} ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑖 / 𝑑))↑2))
67 breq2 4808 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑁 → (𝑥𝑖𝑥𝑁))
6867rabbidv 3329 . . . . 5 (𝑖 = 𝑁 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑖} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
69 oveq1 6820 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑁 → (𝑖 / 𝑑) = (𝑁 / 𝑑))
7069fveq2d 6356 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑁 → (log‘(𝑖 / 𝑑)) = (log‘(𝑁 / 𝑑)))
7170oveq1d 6828 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑁 → ((log‘(𝑖 / 𝑑))↑2) = ((log‘(𝑁 / 𝑑))↑2))
7271oveq2d 6829 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑁 → ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑖 / 𝑑))↑2)) = ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑁 / 𝑑))↑2)))
7372adantr 472 . . . . 5 ((𝑖 = 𝑁𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑖}) → ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑖 / 𝑑))↑2)) = ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑁 / 𝑑))↑2)))
7468, 73sumeq12dv 14636 . . . 4 (𝑖 = 𝑁 → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑖} ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑖 / 𝑑))↑2)) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑁 / 𝑑))↑2)))
7566, 74syl5eq 2806 . . 3 (𝑖 = 𝑁 → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑖} ((μ‘𝑗) · ((log‘(𝑖 / 𝑗))↑2)) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑁 / 𝑑))↑2)))
76 ssrab2 3828 . . . . . . . 8 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑖} ⊆ ℕ
77 dvdsdivcl 15240 . . . . . . . 8 ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑖}) → (𝑖 / 𝑗) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑖})
7876, 77sseldi 3742 . . . . . . 7 ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑖}) → (𝑖 / 𝑗) ∈ ℕ)
79 fveq2 6352 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑖 / 𝑗) → (log‘𝑛) = (log‘(𝑖 / 𝑗)))
8079oveq1d 6828 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑖 / 𝑗) → ((log‘𝑛)↑2) = ((log‘(𝑖 / 𝑗))↑2))
81 eqid 2760 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((log‘𝑛)↑2)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((log‘𝑛)↑2))
82 ovex 6841 . . . . . . . 8 ((log‘𝑛)↑2) ∈ V
8380, 81, 82fvmpt3i 6449 . . . . . . 7 ((𝑖 / 𝑗) ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((log‘𝑛)↑2))‘(𝑖 / 𝑗)) = ((log‘(𝑖 / 𝑗))↑2))
8478, 83syl 17 . . . . . 6 ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑖}) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((log‘𝑛)↑2))‘(𝑖 / 𝑗)) = ((log‘(𝑖 / 𝑗))↑2))
8584oveq2d 6829 . . . . 5 ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑖}) → ((μ‘𝑗) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((log‘𝑛)↑2))‘(𝑖 / 𝑗))) = ((μ‘𝑗) · ((log‘(𝑖 / 𝑗))↑2)))
8685sumeq2dv 14632 . . . 4 (𝑖 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑖} ((μ‘𝑗) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((log‘𝑛)↑2))‘(𝑖 / 𝑗))) = Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑖} ((μ‘𝑗) · ((log‘(𝑖 / 𝑗))↑2)))
8786mpteq2ia 4892 . . 3 (𝑖 ∈ ℕ ↦ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑖} ((μ‘𝑗) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((log‘𝑛)↑2))‘(𝑖 / 𝑗)))) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑖} ((μ‘𝑗) · ((log‘(𝑖 / 𝑗))↑2)))
88 sumex 14617 . . 3 Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑖} ((μ‘𝑗) · ((log‘(𝑖 / 𝑗))↑2)) ∈ V
8975, 87, 88fvmpt3i 6449 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑖} ((μ‘𝑗) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((log‘𝑛)↑2))‘(𝑖 / 𝑗))))‘𝑁) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑁 / 𝑑))↑2)))
9048, 60, 893eqtr3rd 2803 1 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((μ‘𝑑) · ((log‘(𝑁 / 𝑑))↑2)) = (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((Λ‘𝑑) · (Λ‘(𝑁 / 𝑑))) + ((Λ‘𝑁) · (log‘𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  {crab 3054  wss 3715   class class class wbr 4804  cmpt 4881  cfv 6049  (class class class)co 6813  Fincfn 8121  cc 10126  cr 10127  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133   / cdiv 10876  cn 11212  2c2 11262  ...cfz 12519  cexp 13054  Σcsu 14615  cdvds 15182  logclog 24500  Λcvma 25017  μcmu 25020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-bc 13284  df-hash 13312  df-shft 14006  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-ef 14997  df-sin 14999  df-cos 15000  df-pi 15002  df-dvds 15183  df-gcd 15419  df-prm 15588  df-pc 15744  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-nei 21104  df-lp 21142  df-perf 21143  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-haus 21321  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-cncf 22882  df-limc 23829  df-dv 23830  df-log 24502  df-vma 25023  df-mu 25026
This theorem is referenced by:  selberg  25436
  Copyright terms: Public domain W3C validator