MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logsqvma Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logsqvma 25276
Description: A formula for log↑2(𝑁) in terms of the primes. Equation 10.4.6 of [Shapiro], p. 418. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
logsqvma (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑑} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) + ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))) = ((log‘𝑁)↑2))
Distinct variable group:   𝑢,𝑑,𝑥,𝑁

Proof of Theorem logsqvma
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 12812 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ∈ Fin)
2 dvdsssfz1 15087 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ⊆ (1...𝑁))
3 ssfi 8221 . . . 4 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ⊆ (1...𝑁)) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∈ Fin)
41, 2, 3syl2anc 694 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∈ Fin)
5 fzfid 12812 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (1...𝑑) ∈ Fin)
6 elrabi 3391 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} → 𝑑 ∈ ℕ)
76adantl 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → 𝑑 ∈ ℕ)
8 dvdsssfz1 15087 . . . . . 6 (𝑑 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑑} ⊆ (1...𝑑))
97, 8syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑑} ⊆ (1...𝑑))
10 ssfi 8221 . . . . 5 (((1...𝑑) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑑} ⊆ (1...𝑑)) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑑} ∈ Fin)
115, 9, 10syl2anc 694 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑑} ∈ Fin)
12 elrabi 3391 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑑} → 𝑢 ∈ ℕ)
1312ad2antll 765 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑑})) → 𝑢 ∈ ℕ)
14 vmacl 24889 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ ℕ → (Λ‘𝑢) ∈ ℝ)
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑑})) → (Λ‘𝑢) ∈ ℝ)
16 breq1 4688 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑢 → (𝑥𝑑𝑢𝑑))
1716elrab 3396 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑑} ↔ (𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑢𝑑))
1817simprbi 479 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑑} → 𝑢𝑑)
1918ad2antll 765 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑑})) → 𝑢𝑑)
206ad2antrl 764 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑑})) → 𝑑 ∈ ℕ)
21 nndivdvds 15036 . . . . . . . . . 10 ((𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ ℕ) → (𝑢𝑑 ↔ (𝑑 / 𝑢) ∈ ℕ))
2220, 13, 21syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑑})) → (𝑢𝑑 ↔ (𝑑 / 𝑢) ∈ ℕ))
2319, 22mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑑})) → (𝑑 / 𝑢) ∈ ℕ)
24 vmacl 24889 . . . . . . . 8 ((𝑑 / 𝑢) ∈ ℕ → (Λ‘(𝑑 / 𝑢)) ∈ ℝ)
2523, 24syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑑})) → (Λ‘(𝑑 / 𝑢)) ∈ ℝ)
2615, 25remulcld 10108 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑑})) → ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) ∈ ℝ)
2726recnd 10106 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑑})) → ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) ∈ ℂ)
2827anassrs 681 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑑}) → ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) ∈ ℂ)
2911, 28fsumcl 14508 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑑} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) ∈ ℂ)
30 vmacl 24889 . . . . . 6 (𝑑 ∈ ℕ → (Λ‘𝑑) ∈ ℝ)
317, 30syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (Λ‘𝑑) ∈ ℝ)
327nnrpd 11908 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → 𝑑 ∈ ℝ+)
3332relogcld 24414 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (log‘𝑑) ∈ ℝ)
3431, 33remulcld 10108 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑)) ∈ ℝ)
3534recnd 10106 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑)) ∈ ℂ)
364, 29, 35fsumadd 14514 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑑} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) + ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))) = (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑑} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) + Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))))
37 id 22 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
38 oveq1 6697 . . . . . . 7 (𝑑 = (𝑢 · 𝑘) → (𝑑 / 𝑢) = ((𝑢 · 𝑘) / 𝑢))
3938fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝑑 = (𝑢 · 𝑘) → (Λ‘(𝑑 / 𝑢)) = (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢)))
4039oveq2d 6706 . . . . 5 (𝑑 = (𝑢 · 𝑘) → ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) = ((Λ‘𝑢) · (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢))))
4137, 40, 27fsumdvdscom 24956 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑑} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) = Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢))))
42 ssrab2 3720 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} ⊆ ℕ
43 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)}) → 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)})
4442, 43sseldi 3634 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)}) → 𝑘 ∈ ℕ)
4544nncnd 11074 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)}) → 𝑘 ∈ ℂ)
46 ssrab2 3720 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ⊆ ℕ
47 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
4846, 47sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → 𝑢 ∈ ℕ)
4948nncnd 11074 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → 𝑢 ∈ ℂ)
5049adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)}) → 𝑢 ∈ ℂ)
5148nnne0d 11103 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → 𝑢 ≠ 0)
5251adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)}) → 𝑢 ≠ 0)
5345, 50, 52divcan3d 10844 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)}) → ((𝑢 · 𝑘) / 𝑢) = 𝑘)
5453fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)}) → (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢)) = (Λ‘𝑘))
5554sumeq2dv 14477 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢)) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} (Λ‘𝑘))
56 dvdsdivcl 15085 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (𝑁 / 𝑢) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
5746, 56sseldi 3634 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (𝑁 / 𝑢) ∈ ℕ)
58 vmasum 24986 . . . . . . . . 9 ((𝑁 / 𝑢) ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} (Λ‘𝑘) = (log‘(𝑁 / 𝑢)))
5957, 58syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} (Λ‘𝑘) = (log‘(𝑁 / 𝑢)))
60 nnrp 11880 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
6160adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → 𝑁 ∈ ℝ+)
6248nnrpd 11908 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → 𝑢 ∈ ℝ+)
6361, 62relogdivd 24417 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (log‘(𝑁 / 𝑢)) = ((log‘𝑁) − (log‘𝑢)))
6455, 59, 633eqtrd 2689 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢)) = ((log‘𝑁) − (log‘𝑢)))
6564oveq2d 6706 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → ((Λ‘𝑢) · Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢))) = ((Λ‘𝑢) · ((log‘𝑁) − (log‘𝑢))))
66 fzfid 12812 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (1...(𝑁 / 𝑢)) ∈ Fin)
67 dvdsssfz1 15087 . . . . . . . . 9 ((𝑁 / 𝑢) ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} ⊆ (1...(𝑁 / 𝑢)))
6857, 67syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} ⊆ (1...(𝑁 / 𝑢)))
69 ssfi 8221 . . . . . . . 8 (((1...(𝑁 / 𝑢)) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} ⊆ (1...(𝑁 / 𝑢))) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} ∈ Fin)
7066, 68, 69syl2anc 694 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} ∈ Fin)
7148, 14syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (Λ‘𝑢) ∈ ℝ)
7271recnd 10106 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (Λ‘𝑢) ∈ ℂ)
73 vmacl 24889 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (Λ‘𝑘) ∈ ℝ)
7444, 73syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)}) → (Λ‘𝑘) ∈ ℝ)
7574recnd 10106 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)}) → (Λ‘𝑘) ∈ ℂ)
7654, 75eqeltrd 2730 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)}) → (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢)) ∈ ℂ)
7770, 72, 76fsummulc2 14560 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → ((Λ‘𝑢) · Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢))) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢))))
78 relogcl 24367 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℝ+ → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
7978recnd 10106 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ+ → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
8061, 79syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
8162relogcld 24414 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (log‘𝑢) ∈ ℝ)
8281recnd 10106 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (log‘𝑢) ∈ ℂ)
8372, 80, 82subdid 10524 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → ((Λ‘𝑢) · ((log‘𝑁) − (log‘𝑢))) = (((Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)) − ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑢))))
8465, 77, 833eqtr3d 2693 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢))) = (((Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)) − ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑢))))
8584sumeq2dv 14477 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢))) = Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (((Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)) − ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑢))))
8672, 80mulcld 10098 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)) ∈ ℂ)
8772, 82mulcld 10098 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑢)) ∈ ℂ)
884, 86, 87fsumsub 14564 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (((Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)) − ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑢))) = (Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)) − Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑢))))
8960, 79syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
9089sqvald 13045 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘𝑁)↑2) = ((log‘𝑁) · (log‘𝑁)))
91 vmasum 24986 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (Λ‘𝑢) = (log‘𝑁))
9291oveq1d 6705 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)) = ((log‘𝑁) · (log‘𝑁)))
934, 89, 72fsummulc1 14561 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)) = Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)))
9490, 92, 933eqtr2rd 2692 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)) = ((log‘𝑁)↑2))
95 fveq2 6229 . . . . . . . . 9 (𝑢 = 𝑑 → (Λ‘𝑢) = (Λ‘𝑑))
96 fveq2 6229 . . . . . . . . 9 (𝑢 = 𝑑 → (log‘𝑢) = (log‘𝑑))
9795, 96oveq12d 6708 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑑 → ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑢)) = ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑)))
9897cbvsumv 14470 . . . . . . 7 Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑢)) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))
9998a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑢)) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑)))
10094, 99oveq12d 6708 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)) − Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑢))) = (((log‘𝑁)↑2) − Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))))
10188, 100eqtrd 2685 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (((Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)) − ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑢))) = (((log‘𝑁)↑2) − Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))))
10241, 85, 1013eqtrd 2689 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑑} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) = (((log‘𝑁)↑2) − Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))))
103102oveq1d 6705 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑑} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) + Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))) = ((((log‘𝑁)↑2) − Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))) + Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))))
10489sqcld 13046 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘𝑁)↑2) ∈ ℂ)
1054, 35fsumcl 14508 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑)) ∈ ℂ)
106104, 105npcand 10434 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((((log‘𝑁)↑2) − Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))) + Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))) = ((log‘𝑁)↑2))
10736, 103, 1063eqtrd 2689 1 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑑} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) + ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))) = ((log‘𝑁)↑2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  {crab 2945  wss 3607   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  +crp 11870  ...cfz 12364  cexp 12900  Σcsu 14460  cdvds 15027  logclog 24346  Λcvma 24863
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-pc 15589  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-vma 24869
This theorem is referenced by:  logsqvma2  25277
  Copyright terms: Public domain W3C validator