MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logfacbnd3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logfacbnd3 25147
Description: Show the stronger statement log(𝑥!) = 𝑥log𝑥𝑥 + 𝑂(log𝑥) alluded to in logfacrlim 25148. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
logfacbnd3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) ≤ ((log‘𝐴) + 1))

Proof of Theorem logfacbnd3
Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
21rprege0d 12072 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
3 flge0nn0 12815 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)
42, 3syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)
5 faccl 13264 . . . . . . . . . 10 ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 → (!‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℕ)
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (!‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℕ)
76nnrpd 12063 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (!‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℝ+)
8 relogcl 24521 . . . . . . . 8 ((!‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℝ+ → (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) ∈ ℝ)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) ∈ ℝ)
10 rpre 12032 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
1110adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
12 relogcl 24521 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
1312adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
14 peano2rem 10540 . . . . . . . . 9 ((log‘𝐴) ∈ ℝ → ((log‘𝐴) − 1) ∈ ℝ)
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((log‘𝐴) − 1) ∈ ℝ)
1611, 15remulcld 10262 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)) ∈ ℝ)
179, 16resubcld 10650 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) ∈ ℝ)
1817recnd 10260 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) ∈ ℂ)
1918abscld 14374 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) ∈ ℝ)
20 peano2rem 10540 . . . 4 ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) ∈ ℝ → ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) − 1) ∈ ℝ)
2119, 20syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) − 1) ∈ ℝ)
22 ax-1cn 10186 . . . . 5 1 ∈ ℂ
23 subcl 10472 . . . . 5 ((((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) − 1) ∈ ℂ)
2418, 22, 23sylancl 697 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) − 1) ∈ ℂ)
2524abscld 14374 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (abs‘(((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) − 1)) ∈ ℝ)
26 abs1 14236 . . . . 5 (abs‘1) = 1
2726oveq2i 6824 . . . 4 ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) − (abs‘1)) = ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) − 1)
28 abs2dif 14271 . . . . 5 ((((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) − (abs‘1)) ≤ (abs‘(((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) − 1)))
2918, 22, 28sylancl 697 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) − (abs‘1)) ≤ (abs‘(((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) − 1)))
3027, 29syl5eqbrr 4840 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) − 1) ≤ (abs‘(((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) − 1)))
31 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝐴 → (⌊‘𝑥) = (⌊‘𝐴))
3231oveq2d 6829 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝐴 → (1...(⌊‘𝑥)) = (1...(⌊‘𝐴)))
3332sumeq1d 14630 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐴 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛))
34 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐴)
35 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝐴 → (log‘𝑥) = (log‘𝐴))
3635oveq1d 6828 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝐴 → ((log‘𝑥) − 1) = ((log‘𝐴) − 1))
3734, 36oveq12d 6831 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) = (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))
3833, 37oveq12d 6831 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐴 → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))))
39 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))))
40 ovex 6841 . . . . . . . . 9 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))) ∈ V
4138, 39, 40fvmpt3i 6449 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))))‘𝐴) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))))
4241adantr 472 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))))‘𝐴) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))))
43 logfac 24546 . . . . . . . . 9 ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 → (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛))
444, 43syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛))
4544oveq1d 6828 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))))
4642, 45eqtr4d 2797 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))))‘𝐴) = ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))))
47 1rp 12029 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ+
48 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 1 → (⌊‘𝑥) = (⌊‘1))
49 1z 11599 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℤ
50 flid 12803 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ ℤ → (⌊‘1) = 1)
5149, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (⌊‘1) = 1
5248, 51syl6eq 2810 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 1 → (⌊‘𝑥) = 1)
5352oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 1 → (1...(⌊‘𝑥)) = (1...1))
5453sumeq1d 14630 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) = Σ𝑛 ∈ (1...1)(log‘𝑛))
55 0cn 10224 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℂ
56 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 1 → (log‘𝑛) = (log‘1))
57 log1 24531 . . . . . . . . . . . . . 14 (log‘1) = 0
5856, 57syl6eq 2810 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 → (log‘𝑛) = 0)
5958fsum1 14675 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ (1...1)(log‘𝑛) = 0)
6049, 55, 59mp2an 710 . . . . . . . . . . 11 Σ𝑛 ∈ (1...1)(log‘𝑛) = 0
6154, 60syl6eq 2810 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) = 0)
62 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 1 → 𝑥 = 1)
63 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 1 → (log‘𝑥) = (log‘1))
6463, 57syl6eq 2810 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 1 → (log‘𝑥) = 0)
6564oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 1 → ((log‘𝑥) − 1) = (0 − 1))
6662, 65oveq12d 6831 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) = (1 · (0 − 1)))
6755, 22subcli 10549 . . . . . . . . . . . 12 (0 − 1) ∈ ℂ
6867mulid2i 10235 . . . . . . . . . . 11 (1 · (0 − 1)) = (0 − 1)
6966, 68syl6eq 2810 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) = (0 − 1))
7061, 69oveq12d 6831 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 1 → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))) = (0 − (0 − 1)))
71 nncan 10502 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (0 − (0 − 1)) = 1)
7255, 22, 71mp2an 710 . . . . . . . . 9 (0 − (0 − 1)) = 1
7370, 72syl6eq 2810 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))) = 1)
7473, 39, 40fvmpt3i 6449 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ+ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))))‘1) = 1)
7547, 74mp1i 13 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))))‘1) = 1)
7646, 75oveq12d 6831 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))))‘𝐴) − ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))))‘1)) = (((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) − 1))
7776fveq2d 6356 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (abs‘(((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))))‘𝐴) − ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))))‘1))) = (abs‘(((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) − 1)))
78 ioorp 12444 . . . . . 6 (0(,)+∞) = ℝ+
7978eqcomi 2769 . . . . 5 + = (0(,)+∞)
80 nnuz 11916 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
8149a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℤ)
82 1re 10231 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
8382a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
84 pnfxr 10284 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
8584a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → +∞ ∈ ℝ*)
86 1nn0 11500 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
8782, 86nn0addge1i 11533 . . . . . 6 1 ≤ (1 + 1)
8887a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ≤ (1 + 1))
89 0red 10233 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
90 rpre 12032 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
9190adantl 473 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
92 relogcl 24521 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
9392adantl 473 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
94 peano2rem 10540 . . . . . . 7 ((log‘𝑥) ∈ ℝ → ((log‘𝑥) − 1) ∈ ℝ)
9593, 94syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) − 1) ∈ ℝ)
9691, 95remulcld 10262 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) ∈ ℝ)
97 nnrp 12035 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ+)
9897, 93sylan2 492 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
99 advlog 24599 . . . . . 6 (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))
10099a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)))
101 fveq2 6352 . . . . 5 (𝑥 = 𝑛 → (log‘𝑥) = (log‘𝑛))
102 simp32 1253 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑥𝑥𝑛𝑛 ≤ +∞)) → 𝑥𝑛)
103 logleb 24548 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑛 ↔ (log‘𝑥) ≤ (log‘𝑛)))
1041033ad2ant2 1129 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑥𝑥𝑛𝑛 ≤ +∞)) → (𝑥𝑛 ↔ (log‘𝑥) ≤ (log‘𝑛)))
105102, 104mpbid 222 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑥𝑥𝑛𝑛 ≤ +∞)) → (log‘𝑥) ≤ (log‘𝑛))
106 simprr 813 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 1 ≤ 𝑥)
107 simprl 811 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
108 logleb 24548 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝑥 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑥)))
10947, 107, 108sylancr 698 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (1 ≤ 𝑥 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑥)))
110106, 109mpbid 222 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (log‘1) ≤ (log‘𝑥))
11157, 110syl5eqbrr 4840 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ (log‘𝑥))
11247a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℝ+)
113 1le1 10847 . . . . . 6 1 ≤ 1
114113a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ≤ 1)
115 simpr 479 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ≤ 𝐴)
11611rexrd 10281 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
117 pnfge 12157 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≤ +∞)
118116, 117syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≤ +∞)
11979, 80, 81, 83, 85, 88, 89, 96, 93, 98, 100, 101, 105, 39, 111, 112, 1, 114, 115, 118, 35dvfsum2 23996 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (abs‘(((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))))‘𝐴) − ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))))‘1))) ≤ (log‘𝐴))
12077, 119eqbrtrrd 4828 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (abs‘(((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) − 1)) ≤ (log‘𝐴))
12121, 25, 13, 30, 120letrd 10386 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) − 1) ≤ (log‘𝐴))
12219, 83, 13lesubaddd 10816 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) − 1) ≤ (log‘𝐴) ↔ (abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) ≤ ((log‘𝐴) + 1)))
123121, 122mpbid 222 1 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) ≤ ((log‘𝐴) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139   class class class wbr 4804  cmpt 4881  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133  +∞cpnf 10263  *cxr 10265  cle 10267  cmin 10458  cn 11212  0cn0 11484  cz 11569  +crp 12025  (,)cioo 12368  ...cfz 12519  cfl 12785  !cfa 13254  abscabs 14173  Σcsu 14615   D cdv 23826  logclog 24500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-bc 13284  df-hash 13312  df-shft 14006  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-ef 14997  df-sin 14999  df-cos 15000  df-pi 15002  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-nei 21104  df-lp 21142  df-perf 21143  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-haus 21321  df-cmp 21392  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-cncf 22882  df-limc 23829  df-dv 23830  df-log 24502
This theorem is referenced by:  logfacrlim  25148
  Copyright terms: Public domain W3C validator