Theorem logfac 24567

Description: The logarithm of a factorial can be expressed as a finite sum of logs. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
logfac	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (log‘(!‘𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(log‘𝑘))

Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem logfac

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 11506	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		rpmulcl 12068	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑘 · 𝑛) ∈ ℝ+)
3	2	adantl 473	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑘 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+)) → (𝑘 · 𝑛) ∈ ℝ+)
4		vex 3343	. . . . . . 7 ⊢ 𝑘 ∈ V
5		fvi 6418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ V → ( I ‘𝑘) = 𝑘)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ( I ‘𝑘) = 𝑘
7		elfznn 12583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
8	7	adantl 473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
9	8	nnrpd 12083	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ+)
10	6, 9	syl5eqel 2843	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ( I ‘𝑘) ∈ ℝ+)
11		elnnuz 11937	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
12	11	biimpi 206	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
13		relogmul 24558	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (log‘(𝑘 · 𝑛)) = ((log‘𝑘) + (log‘𝑛)))
14	13	adantl 473	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑘 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+)) → (log‘(𝑘 · 𝑛)) = ((log‘𝑘) + (log‘𝑛)))
15	6	fveq2i 6356	. . . . . 6 ⊢ (log‘( I ‘𝑘)) = (log‘𝑘)
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (log‘( I ‘𝑘)) = (log‘𝑘))
17	3, 10, 12, 14, 16	seqhomo 13062	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(seq1( · , I )‘𝑁)) = (seq1( + , log)‘𝑁))
18		facnn 13276	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
19	18	fveq2d 6357	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(!‘𝑁)) = (log‘(seq1( · , I )‘𝑁)))
20		eqidd 2761	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (log‘𝑘) = (log‘𝑘))
21		relogcl 24542	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ+ → (log‘𝑘) ∈ ℝ)
22	9, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (log‘𝑘) ∈ ℝ)
23	22	recnd 10280	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (log‘𝑘) ∈ ℂ)
24	20, 12, 23	fsumser 14680	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(log‘𝑘) = (seq1( + , log)‘𝑁))
25	17, 19, 24	3eqtr4d 2804	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(!‘𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(log‘𝑘))
26		log1 24552	. . . . 5 ⊢ (log‘1) = 0
27		sum0 14671	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ (log‘𝑘) = 0
28	26, 27	eqtr4i 2785	. . . 4 ⊢ (log‘1) = Σ𝑘 ∈ ∅ (log‘𝑘)
29		fveq2 6353	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (!‘𝑁) = (!‘0))
30		fac0 13277	. . . . . 6 ⊢ (!‘0) = 1
31	29, 30	syl6eq 2810	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (!‘𝑁) = 1)
32	31	fveq2d 6357	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (log‘(!‘𝑁)) = (log‘1))
33		oveq2 6822	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (1...𝑁) = (1...0))
34		fz10 12575	. . . . . 6 ⊢ (1...0) = ∅
35	33, 34	syl6eq 2810	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (1...𝑁) = ∅)
36	35	sumeq1d 14650	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(log‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ∅ (log‘𝑘))
37	28, 32, 36	3eqtr4a 2820	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (log‘(!‘𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(log‘𝑘))
38	25, 37	jaoi 393	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (log‘(!‘𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(log‘𝑘))
39	1, 38	sylbi 207	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (log‘(!‘𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(log‘𝑘))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340  ∅c0 4058   I cid 5173  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  ℝcr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153  ℕcn 11232  ℕ₀cn0 11504  ℤ_≥cuz 11899  ℝ⁺crp 12045  ...cfz 12539  seqcseq 13015  !cfa 13274  Σcsu 14635  logclog 24521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227  ax-mulf 10228

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-ioo 12392  df-ioc 12393  df-ico 12394  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-mod 12883  df-seq 13016  df-exp 13075  df-fac 13275  df-bc 13304  df-hash 13332  df-shft 14026  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-limsup 14421  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-sum 14636  df-ef 15017  df-sin 15019  df-cos 15020  df-pi 15022  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-hom 16188  df-cco 16189  df-rest 16305  df-topn 16306  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-topgen 16326  df-pt 16327  df-prds 16330  df-xrs 16384  df-qtop 16389  df-imas 16390  df-xps 16392  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-mulg 17762  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-fbas 19965  df-fg 19966  df-cnfld 19969  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-nei 21124  df-lp 21162  df-perf 21163  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-haus 21341  df-tx 21587  df-hmeo 21780  df-fil 21871  df-fm 21963  df-flim 21964  df-flf 21965  df-xms 22346  df-ms 22347  df-tms 22348  df-cncf 22902  df-limc 23849  df-dv 23850  df-log 24523

This theorem is referenced by:  birthdaylem2  24899  logfac2  25162  logfaclbnd  25167  logfacbnd3  25168