MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logf1o2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logf1o2 24516
Description: The logarithm maps its continuous domain bijectively onto the set of numbers with imaginary part -π < ℑ(𝑧) < π. The negative reals are mapped to the numbers with imaginary part equal to π. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logcn.d 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
Assertion
Ref Expression
logf1o2 (log ↾ 𝐷):𝐷1-1-onto→(ℑ “ (-π(,)π))

Proof of Theorem logf1o2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 logf1o 24431 . . . 4 log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log
2 f1of1 6249 . . . 4 (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → log:(ℂ ∖ {0})–1-1→ran log)
31, 2ax-mp 5 . . 3 log:(ℂ ∖ {0})–1-1→ran log
4 logcn.d . . . 4 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
54logdmss 24508 . . 3 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})
6 f1ores 6264 . . 3 ((log:(ℂ ∖ {0})–1-1→ran log ∧ 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (log ↾ 𝐷):𝐷1-1-onto→(log “ 𝐷))
73, 5, 6mp2an 710 . 2 (log ↾ 𝐷):𝐷1-1-onto→(log “ 𝐷)
8 f1ofun 6252 . . . . . . 7 (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → Fun log)
91, 8ax-mp 5 . . . . . 6 Fun log
10 f1of 6250 . . . . . . . . 9 (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
111, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8 log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log
1211fdmi 6165 . . . . . . 7 dom log = (ℂ ∖ {0})
135, 12sseqtr4i 3744 . . . . . 6 𝐷 ⊆ dom log
14 funimass4 6361 . . . . . 6 ((Fun log ∧ 𝐷 ⊆ dom log) → ((log “ 𝐷) ⊆ (ℑ “ (-π(,)π)) ↔ ∀𝑥𝐷 (log‘𝑥) ∈ (ℑ “ (-π(,)π))))
159, 13, 14mp2an 710 . . . . 5 ((log “ 𝐷) ⊆ (ℑ “ (-π(,)π)) ↔ ∀𝑥𝐷 (log‘𝑥) ∈ (ℑ “ (-π(,)π)))
164ellogdm 24505 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ+)))
1716simplbi 478 . . . . . . 7 (𝑥𝐷𝑥 ∈ ℂ)
184logdmn0 24506 . . . . . . 7 (𝑥𝐷𝑥 ≠ 0)
1917, 18logcld 24437 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
2019imcld 14055 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℝ)
2117, 18logimcld 24438 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 → (-π < (ℑ‘(log‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) ≤ π))
2221simpld 477 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → -π < (ℑ‘(log‘𝑥)))
234logdmnrp 24507 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐷 → ¬ -𝑥 ∈ ℝ+)
24 lognegb 24456 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (-𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝑥)) = π))
2517, 18, 24syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐷 → (-𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝑥)) = π))
2625necon3bbid 2933 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐷 → (¬ -𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝑥)) ≠ π))
2723, 26mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ≠ π)
2827necomd 2951 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 → π ≠ (ℑ‘(log‘𝑥)))
29 pire 24330 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℝ
3029a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷 → π ∈ ℝ)
3121simprd 482 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ≤ π)
3220, 30, 31leltned 10303 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 → ((ℑ‘(log‘𝑥)) < π ↔ π ≠ (ℑ‘(log‘𝑥))))
3328, 32mpbird 247 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) < π)
3429renegcli 10455 . . . . . . . . 9 -π ∈ ℝ
3534rexri 10210 . . . . . . . 8 -π ∈ ℝ*
3629rexri 10210 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ*
37 elioo2 12330 . . . . . . . 8 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π) ↔ ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ -π < (ℑ‘(log‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) < π)))
3835, 36, 37mp2an 710 . . . . . . 7 ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π) ↔ ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ -π < (ℑ‘(log‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) < π))
3920, 22, 33, 38syl3anbrc 1383 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π))
40 imf 13973 . . . . . . 7 ℑ:ℂ⟶ℝ
41 ffn 6158 . . . . . . 7 (ℑ:ℂ⟶ℝ → ℑ Fn ℂ)
42 elpreima 6452 . . . . . . 7 (ℑ Fn ℂ → ((log‘𝑥) ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ↔ ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π))))
4340, 41, 42mp2b 10 . . . . . 6 ((log‘𝑥) ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ↔ ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π)))
4419, 39, 43sylanbrc 701 . . . . 5 (𝑥𝐷 → (log‘𝑥) ∈ (ℑ “ (-π(,)π)))
4515, 44mprgbir 3029 . . . 4 (log “ 𝐷) ⊆ (ℑ “ (-π(,)π))
46 elpreima 6452 . . . . . . 7 (ℑ Fn ℂ → (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π))))
4740, 41, 46mp2b 10 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)))
48 simpl 474 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ℂ)
49 eliooord 12347 . . . . . . . . . . 11 ((ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π) → (-π < (ℑ‘𝑥) ∧ (ℑ‘𝑥) < π))
5049adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) → (-π < (ℑ‘𝑥) ∧ (ℑ‘𝑥) < π))
5150simpld 477 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) → -π < (ℑ‘𝑥))
5250simprd 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) → (ℑ‘𝑥) < π)
53 imcl 13971 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ → (ℑ‘𝑥) ∈ ℝ)
5453adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) → (ℑ‘𝑥) ∈ ℝ)
55 ltle 10239 . . . . . . . . . . 11 (((ℑ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝑥) < π → (ℑ‘𝑥) ≤ π))
5654, 29, 55sylancl 697 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) → ((ℑ‘𝑥) < π → (ℑ‘𝑥) ≤ π))
5752, 56mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) → (ℑ‘𝑥) ≤ π)
58 ellogrn 24426 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ran log ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘𝑥) ∧ (ℑ‘𝑥) ≤ π))
5948, 51, 57, 58syl3anbrc 1383 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ran log)
60 logef 24448 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ran log → (log‘(exp‘𝑥)) = 𝑥)
6159, 60syl 17 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) → (log‘(exp‘𝑥)) = 𝑥)
62 efcl 14933 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
6362adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
6454adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (ℑ‘𝑥) ∈ ℝ)
6564recnd 10181 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (ℑ‘𝑥) ∈ ℂ)
66 picn 24331 . . . . . . . . . . . . . 14 π ∈ ℂ
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → π ∈ ℂ)
68 pipos 24332 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < π
6929, 68gt0ne0ii 10677 . . . . . . . . . . . . . 14 π ≠ 0
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → π ≠ 0)
7152adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (ℑ‘𝑥) < π)
7266mulid1i 10155 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π · 1) = π
7371, 72syl6breqr 4802 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (ℑ‘𝑥) < (π · 1))
74 1re 10152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℝ
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
7629a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → π ∈ ℝ)
7768a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → 0 < π)
78 ltdivmul 11011 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((ℑ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)) → (((ℑ‘𝑥) / π) < 1 ↔ (ℑ‘𝑥) < (π · 1)))
7964, 75, 76, 77, 78syl112anc 1443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (((ℑ‘𝑥) / π) < 1 ↔ (ℑ‘𝑥) < (π · 1)))
8073, 79mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝑥) / π) < 1)
81 1e0p1 11665 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 = (0 + 1)
8280, 81syl6breq 4801 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝑥) / π) < (0 + 1))
8364recoscld 14994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (cos‘(ℑ‘𝑥)) ∈ ℝ)
8464resincld 14993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (sin‘(ℑ‘𝑥)) ∈ ℝ)
8583, 84crimd 14092 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (ℑ‘((cos‘(ℑ‘𝑥)) + (i · (sin‘(ℑ‘𝑥))))) = (sin‘(ℑ‘𝑥)))
86 efeul 15012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) = ((exp‘(ℜ‘𝑥)) · ((cos‘(ℑ‘𝑥)) + (i · (sin‘(ℑ‘𝑥))))))
8786ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (exp‘𝑥) = ((exp‘(ℜ‘𝑥)) · ((cos‘(ℑ‘𝑥)) + (i · (sin‘(ℑ‘𝑥))))))
8887oveq1d 6780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → ((exp‘𝑥) / (exp‘(ℜ‘𝑥))) = (((exp‘(ℜ‘𝑥)) · ((cos‘(ℑ‘𝑥)) + (i · (sin‘(ℑ‘𝑥))))) / (exp‘(ℜ‘𝑥))))
8983recnd 10181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (cos‘(ℑ‘𝑥)) ∈ ℂ)
90 ax-icn 10108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 i ∈ ℂ
9184recnd 10181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (sin‘(ℑ‘𝑥)) ∈ ℂ)
92 mulcl 10133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((i ∈ ℂ ∧ (sin‘(ℑ‘𝑥)) ∈ ℂ) → (i · (sin‘(ℑ‘𝑥))) ∈ ℂ)
9390, 91, 92sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (i · (sin‘(ℑ‘𝑥))) ∈ ℂ)
9489, 93addcld 10172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → ((cos‘(ℑ‘𝑥)) + (i · (sin‘(ℑ‘𝑥)))) ∈ ℂ)
95 recl 13970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ ℂ → (ℜ‘𝑥) ∈ ℝ)
9695ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (ℜ‘𝑥) ∈ ℝ)
9796recnd 10181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (ℜ‘𝑥) ∈ ℂ)
98 efcl 14933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((ℜ‘𝑥) ∈ ℂ → (exp‘(ℜ‘𝑥)) ∈ ℂ)
9997, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (exp‘(ℜ‘𝑥)) ∈ ℂ)
100 efne0 14947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((ℜ‘𝑥) ∈ ℂ → (exp‘(ℜ‘𝑥)) ≠ 0)
10197, 100syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (exp‘(ℜ‘𝑥)) ≠ 0)
10294, 99, 101divcan3d 10919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (((exp‘(ℜ‘𝑥)) · ((cos‘(ℑ‘𝑥)) + (i · (sin‘(ℑ‘𝑥))))) / (exp‘(ℜ‘𝑥))) = ((cos‘(ℑ‘𝑥)) + (i · (sin‘(ℑ‘𝑥)))))
10388, 102eqtrd 2758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → ((exp‘𝑥) / (exp‘(ℜ‘𝑥))) = ((cos‘(ℑ‘𝑥)) + (i · (sin‘(ℑ‘𝑥)))))
104 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (exp‘𝑥) ∈ ℝ)
10596reefcld 14938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (exp‘(ℜ‘𝑥)) ∈ ℝ)
106104, 105, 101redivcld 10966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → ((exp‘𝑥) / (exp‘(ℜ‘𝑥))) ∈ ℝ)
107103, 106eqeltrrd 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → ((cos‘(ℑ‘𝑥)) + (i · (sin‘(ℑ‘𝑥)))) ∈ ℝ)
108107reim0d 14085 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (ℑ‘((cos‘(ℑ‘𝑥)) + (i · (sin‘(ℑ‘𝑥))))) = 0)
10985, 108eqtr3d 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (sin‘(ℑ‘𝑥)) = 0)
110 sineq0 24393 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((ℑ‘𝑥) ∈ ℂ → ((sin‘(ℑ‘𝑥)) = 0 ↔ ((ℑ‘𝑥) / π) ∈ ℤ))
11165, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → ((sin‘(ℑ‘𝑥)) = 0 ↔ ((ℑ‘𝑥) / π) ∈ ℤ))
112109, 111mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝑥) / π) ∈ ℤ)
113 0z 11501 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℤ
114 zleltp1 11541 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((ℑ‘𝑥) / π) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (((ℑ‘𝑥) / π) ≤ 0 ↔ ((ℑ‘𝑥) / π) < (0 + 1)))
115112, 113, 114sylancl 697 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (((ℑ‘𝑥) / π) ≤ 0 ↔ ((ℑ‘𝑥) / π) < (0 + 1)))
11682, 115mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝑥) / π) ≤ 0)
117 df-neg 10382 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -1 = (0 − 1)
11866mulm1i 10588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-1 · π) = -π
11951adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → -π < (ℑ‘𝑥))
120118, 119syl5eqbr 4795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (-1 · π) < (ℑ‘𝑥))
12174renegcli 10455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -1 ∈ ℝ
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → -1 ∈ ℝ)
123 ltmuldiv 11009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-1 ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)) → ((-1 · π) < (ℑ‘𝑥) ↔ -1 < ((ℑ‘𝑥) / π)))
124122, 64, 76, 77, 123syl112anc 1443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → ((-1 · π) < (ℑ‘𝑥) ↔ -1 < ((ℑ‘𝑥) / π)))
125120, 124mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → -1 < ((ℑ‘𝑥) / π))
126117, 125syl5eqbrr 4796 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (0 − 1) < ((ℑ‘𝑥) / π))
127 zlem1lt 11542 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℤ ∧ ((ℑ‘𝑥) / π) ∈ ℤ) → (0 ≤ ((ℑ‘𝑥) / π) ↔ (0 − 1) < ((ℑ‘𝑥) / π)))
128113, 112, 127sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (0 ≤ ((ℑ‘𝑥) / π) ↔ (0 − 1) < ((ℑ‘𝑥) / π)))
129126, 128mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → 0 ≤ ((ℑ‘𝑥) / π))
13064, 76, 70redivcld 10966 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝑥) / π) ∈ ℝ)
131 0re 10153 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
132 letri3 10236 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((ℑ‘𝑥) / π) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((ℑ‘𝑥) / π) = 0 ↔ (((ℑ‘𝑥) / π) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((ℑ‘𝑥) / π))))
133130, 131, 132sylancl 697 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (((ℑ‘𝑥) / π) = 0 ↔ (((ℑ‘𝑥) / π) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((ℑ‘𝑥) / π))))
134116, 129, 133mpbir2and 995 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝑥) / π) = 0)
13565, 67, 70, 134diveq0d 10921 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (ℑ‘𝑥) = 0)
136 reim0b 13979 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝑥) = 0))
137136ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝑥) = 0))
138135, 137mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
139138rpefcld 14955 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (exp‘𝑥) ∈ ℝ+)
140139ex 449 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) → ((exp‘𝑥) ∈ ℝ → (exp‘𝑥) ∈ ℝ+))
1414ellogdm 24505 . . . . . . . . 9 ((exp‘𝑥) ∈ 𝐷 ↔ ((exp‘𝑥) ∈ ℂ ∧ ((exp‘𝑥) ∈ ℝ → (exp‘𝑥) ∈ ℝ+)))
14263, 140, 141sylanbrc 701 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) → (exp‘𝑥) ∈ 𝐷)
143 funfvima2 6608 . . . . . . . . 9 ((Fun log ∧ 𝐷 ⊆ dom log) → ((exp‘𝑥) ∈ 𝐷 → (log‘(exp‘𝑥)) ∈ (log “ 𝐷)))
1449, 13, 143mp2an 710 . . . . . . . 8 ((exp‘𝑥) ∈ 𝐷 → (log‘(exp‘𝑥)) ∈ (log “ 𝐷))
145142, 144syl 17 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) → (log‘(exp‘𝑥)) ∈ (log “ 𝐷))
14661, 145eqeltrrd 2804 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ (log “ 𝐷))
14747, 146sylbi 207 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ (log “ 𝐷))
148147ssriv 3713 . . . 4 (ℑ “ (-π(,)π)) ⊆ (log “ 𝐷)
14945, 148eqssi 3725 . . 3 (log “ 𝐷) = (ℑ “ (-π(,)π))
150 f1oeq3 6242 . . 3 ((log “ 𝐷) = (ℑ “ (-π(,)π)) → ((log ↾ 𝐷):𝐷1-1-onto→(log “ 𝐷) ↔ (log ↾ 𝐷):𝐷1-1-onto→(ℑ “ (-π(,)π))))
151149, 150ax-mp 5 . 2 ((log ↾ 𝐷):𝐷1-1-onto→(log “ 𝐷) ↔ (log ↾ 𝐷):𝐷1-1-onto→(ℑ “ (-π(,)π)))
1527, 151mpbi 220 1 (log ↾ 𝐷):𝐷1-1-onto→(ℑ “ (-π(,)π))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1596  wcel 2103  wne 2896  wral 3014  cdif 3677  wss 3680  {csn 4285   class class class wbr 4760  ccnv 5217  dom cdm 5218  ran crn 5219  cres 5220  cima 5221  Fun wfun 5995   Fn wfn 5996  wf 5997  1-1wf1 5998  1-1-ontowf1o 6000  cfv 6001  (class class class)co 6765  cc 10047  cr 10048  0cc0 10049  1c1 10050  ici 10051   + caddc 10052   · cmul 10054  -∞cmnf 10185  *cxr 10186   < clt 10187  cle 10188  cmin 10379  -cneg 10380   / cdiv 10797  cz 11490  +crp 11946  (,)cioo 12289  (,]cioc 12290  cre 13957  cim 13958  expce 14912  sincsin 14914  cosccos 14915  πcpi 14917  logclog 24421
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127  ax-addf 10128  ax-mulf 10129
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-iin 4631  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-of 7014  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-supp 7416  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-2o 7681  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-pm 7977  df-ixp 8026  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-fsupp 8392  df-fi 8433  df-sup 8464  df-inf 8465  df-oi 8531  df-card 8878  df-cda 9103  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-q 11903  df-rp 11947  df-xneg 12060  df-xadd 12061  df-xmul 12062  df-ioo 12293  df-ioc 12294  df-ico 12295  df-icc 12296  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-fl 12708  df-mod 12784  df-seq 12917  df-exp 12976  df-fac 13176  df-bc 13205  df-hash 13233  df-shft 13927  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-limsup 14322  df-clim 14339  df-rlim 14340  df-sum 14537  df-ef 14918  df-sin 14920  df-cos 14921  df-pi 14923  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-starv 16079  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-ip 16082  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-unif 16088  df-hom 16089  df-cco 16090  df-rest 16206  df-topn 16207  df-0g 16225  df-gsum 16226  df-topgen 16227  df-pt 16228  df-prds 16231  df-xrs 16285  df-qtop 16290  df-imas 16291  df-xps 16293  df-mre 16369  df-mrc 16370  df-acs 16372  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-submnd 17458  df-mulg 17663  df-cntz 17871  df-cmn 18316  df-psmet 19861  df-xmet 19862  df-met 19863  df-bl 19864  df-mopn 19865  df-fbas 19866  df-fg 19867  df-cnfld 19870  df-top 20822  df-topon 20839  df-topsp 20860  df-bases 20873  df-cld 20946  df-ntr 20947  df-cls 20948  df-nei 21025  df-lp 21063  df-perf 21064  df-cn 21154  df-cnp 21155  df-haus 21242  df-tx 21488  df-hmeo 21681  df-fil 21772  df-fm 21864  df-flim 21865  df-flf 21866  df-xms 22247  df-ms 22248  df-tms 22249  df-cncf 22803  df-limc 23750  df-dv 23751  df-log 24423
This theorem is referenced by:  efopnlem2  24523
  Copyright terms: Public domain W3C validator