MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logdmnrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logdmnrp 24432
Description: A number in the continuous domain of log is not a strictly negative number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logcn.d 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
Assertion
Ref Expression
logdmnrp (𝐴𝐷 → ¬ -𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem logdmnrp
StepHypRef Expression
1 eldifn 3766 . . 3 (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → ¬ 𝐴 ∈ (-∞(,]0))
2 logcn.d . . 3 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
31, 2eleq2s 2748 . 2 (𝐴𝐷 → ¬ 𝐴 ∈ (-∞(,]0))
4 rpre 11877 . . . . 5 (-𝐴 ∈ ℝ+ → -𝐴 ∈ ℝ)
52ellogdm 24430 . . . . . . 7 (𝐴𝐷 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+)))
65simplbi 475 . . . . . 6 (𝐴𝐷𝐴 ∈ ℂ)
7 negreb 10384 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
86, 7syl 17 . . . . 5 (𝐴𝐷 → (-𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
94, 8syl5ib 234 . . . 4 (𝐴𝐷 → (-𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ))
109imp 444 . . 3 ((𝐴𝐷 ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
11 mnflt 11995 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
1210, 11syl 17 . . 3 ((𝐴𝐷 ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → -∞ < 𝐴)
13 rpgt0 11882 . . . . . 6 (-𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < -𝐴)
1413adantl 481 . . . . 5 ((𝐴𝐷 ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 0 < -𝐴)
1510lt0neg1d 10635 . . . . 5 ((𝐴𝐷 ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
1614, 15mpbird 247 . . . 4 ((𝐴𝐷 ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 < 0)
17 0re 10078 . . . . 5 0 ∈ ℝ
18 ltle 10164 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 < 0 → 𝐴 ≤ 0))
1910, 17, 18sylancl 695 . . . 4 ((𝐴𝐷 ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (𝐴 < 0 → 𝐴 ≤ 0))
2016, 19mpd 15 . . 3 ((𝐴𝐷 ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ 0)
21 mnfxr 10134 . . . 4 -∞ ∈ ℝ*
22 elioc2 12274 . . . 4 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐴𝐴 ≤ 0)))
2321, 17, 22mp2an 708 . . 3 (𝐴 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐴𝐴 ≤ 0))
2410, 12, 20, 23syl3anbrc 1265 . 2 ((𝐴𝐷 ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ (-∞(,]0))
253, 24mtand 692 1 (𝐴𝐷 → ¬ -𝐴 ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  cdif 3604   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  -∞cmnf 10110  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  -cneg 10305  +crp 11870  (,]cioc 12214
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-rp 11871  df-ioc 12218
This theorem is referenced by:  dvloglem  24439  logf1o2  24441
  Copyright terms: Public domain W3C validator