MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logcnlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logcnlem3 24435
Description: Lemma for logcn 24438. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
logcn.d 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
logcnlem.s 𝑆 = if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴)))
logcnlem.t 𝑇 = ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅)))
logcnlem.a (𝜑𝐴𝐷)
logcnlem.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
logcnlem.b (𝜑𝐵𝐷)
logcnlem.l (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) < if(𝑆𝑇, 𝑆, 𝑇))
Assertion
Ref Expression
logcnlem3 (𝜑 → (-π < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ∧ ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π))

Proof of Theorem logcnlem3
StepHypRef Expression
1 pire 24255 . . . . . 6 π ∈ ℝ
21renegcli 10380 . . . . 5 -π ∈ ℝ
32a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → -π ∈ ℝ)
4 logcnlem.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝐷)
5 logcn.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
65ellogdm 24430 . . . . . . . . 9 (𝐵𝐷 ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ+)))
76simplbi 475 . . . . . . . 8 (𝐵𝐷𝐵 ∈ ℂ)
84, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
95logdmn0 24431 . . . . . . . 8 (𝐵𝐷𝐵 ≠ 0)
104, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ≠ 0)
118, 10logcld 24362 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
1211imcld 13979 . . . . 5 (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ ℝ)
1312adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ ℝ)
14 logcnlem.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝐷)
155ellogdm 24430 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐷 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+)))
1615simplbi 475 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐷𝐴 ∈ ℂ)
1714, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
185logdmn0 24431 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐷𝐴 ≠ 0)
1914, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ≠ 0)
2017, 19logcld 24362 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
2120imcld 13979 . . . . . 6 (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
2212, 21resubcld 10496 . . . . 5 (𝜑 → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ)
2322adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ)
248, 10logimcld 24363 . . . . . 6 (𝜑 → (-π < (ℑ‘(log‘𝐵)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐵)) ≤ π))
2524simpld 474 . . . . 5 (𝜑 → -π < (ℑ‘(log‘𝐵)))
2625adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → -π < (ℑ‘(log‘𝐵)))
2712recnd 10106 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ ℂ)
2827adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ ℂ)
2928subid1d 10419 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − 0) = (ℑ‘(log‘𝐵)))
3021adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
31 0red 10079 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → 0 ∈ ℝ)
32 argimlt0 24404 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-π(,)0))
3317, 32sylan 487 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-π(,)0))
34 eliooord 12271 . . . . . . . 8 ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-π(,)0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < 0))
3533, 34syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < 0))
3635simprd 478 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) < 0)
3730, 31, 13, 36ltsub2dd 10678 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − 0) < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
3829, 37eqbrtrrd 4709 . . . 4 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐵)) < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
393, 13, 23, 26, 38lttrd 10236 . . 3 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → -π < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
4025adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → -π < (ℑ‘(log‘𝐵)))
41 reim0b 13903 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
4217, 41syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
4315simprbi 479 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐷 → (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+))
4414, 43syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+))
4542, 44sylbird 250 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) = 0 → 𝐴 ∈ ℝ+))
4645imp 444 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ+)
4746relogcld 24414 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
4847reim0d 14009 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) = 0)
4948oveq2d 6706 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) = ((ℑ‘(log‘𝐵)) − 0))
5027subid1d 10419 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − 0) = (ℑ‘(log‘𝐵)))
5150adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − 0) = (ℑ‘(log‘𝐵)))
5249, 51eqtrd 2685 . . . 4 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) = (ℑ‘(log‘𝐵)))
5340, 52breqtrrd 4713 . . 3 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → -π < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
542a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -π ∈ ℝ)
5521renegcld 10495 . . . . 5 (𝜑 → -(ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
5655adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -(ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
5722adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ)
58 argimgt0 24403 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (0(,)π))
5917, 58sylan 487 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (0(,)π))
60 eliooord 12271 . . . . . . 7 ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (0(,)π) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < π))
6159, 60syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < π))
6261simprd 478 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) < π)
63 ltneg 10566 . . . . . . 7 (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) < π ↔ -π < -(ℑ‘(log‘𝐴))))
6421, 1, 63sylancl 695 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℑ‘(log‘𝐴)) < π ↔ -π < -(ℑ‘(log‘𝐴))))
6564adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) < π ↔ -π < -(ℑ‘(log‘𝐴))))
6662, 65mpbid 222 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -π < -(ℑ‘(log‘𝐴)))
67 df-neg 10307 . . . . 5 -(ℑ‘(log‘𝐴)) = (0 − (ℑ‘(log‘𝐴)))
688adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ)
6917, 8imsubd 14001 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℑ‘(𝐴𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)))
7069adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(𝐴𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)))
7117, 8subcld 10430 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
7271imcld 13979 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℑ‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
7372adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
7471abscld 14219 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
7574adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
7617adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7776imcld 13979 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
78 absimle 14093 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴𝐵) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘(𝐴𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)))
7971, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(𝐴𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)))
8072, 74absled 14213 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((abs‘(ℑ‘(𝐴𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)) ↔ (-(abs‘(𝐴𝐵)) ≤ (ℑ‘(𝐴𝐵)) ∧ (ℑ‘(𝐴𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)))))
8179, 80mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (-(abs‘(𝐴𝐵)) ≤ (ℑ‘(𝐴𝐵)) ∧ (ℑ‘(𝐴𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴𝐵))))
8281simprd 478 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℑ‘(𝐴𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)))
8382adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(𝐴𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)))
84 logcnlem.s . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑆 = if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴)))
85 rpre 11877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
8685adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
8717imcld 13979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
8887recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
8988abscld 14219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
9089adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
9186, 90ifclda 4153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴))) ∈ ℝ)
9284, 91syl5eqel 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
93 logcnlem.t . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑇 = ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅)))
9417abscld 14219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
95 logcnlem.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
9695rpred 11910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
97 1rp 11874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℝ+
98 rpaddcl 11892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ+) → (1 + 𝑅) ∈ ℝ+)
9997, 95, 98sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (1 + 𝑅) ∈ ℝ+)
10096, 99rerpdivcld 11941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑅 / (1 + 𝑅)) ∈ ℝ)
10194, 100remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅))) ∈ ℝ)
10293, 101syl5eqel 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
10392, 102ifcld 4164 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → if(𝑆𝑇, 𝑆, 𝑇) ∈ ℝ)
104 logcnlem.l . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) < if(𝑆𝑇, 𝑆, 𝑇))
105 min1 12058 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → if(𝑆𝑇, 𝑆, 𝑇) ≤ 𝑆)
10692, 102, 105syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → if(𝑆𝑇, 𝑆, 𝑇) ≤ 𝑆)
10774, 103, 92, 104, 106ltletrd 10235 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) < 𝑆)
108107adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (abs‘(𝐴𝐵)) < 𝑆)
109 gt0ne0 10531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
11087, 109sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
11185, 42syl5ib 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℑ‘𝐴) = 0))
112111necon3ad 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) ≠ 0 → ¬ 𝐴 ∈ ℝ+))
113112imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → ¬ 𝐴 ∈ ℝ+)
114 iffalse 4128 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐴 ∈ ℝ+ → if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴))) = (abs‘(ℑ‘𝐴)))
11584, 114syl5eq 2697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐴 ∈ ℝ+𝑆 = (abs‘(ℑ‘𝐴)))
116113, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → 𝑆 = (abs‘(ℑ‘𝐴)))
117110, 116syldan 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 𝑆 = (abs‘(ℑ‘𝐴)))
118 0re 10078 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ ℝ
119 ltle 10164 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ) → (0 < (ℑ‘𝐴) → 0 ≤ (ℑ‘𝐴)))
120118, 87, 119sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (0 < (ℑ‘𝐴) → 0 ≤ (ℑ‘𝐴)))
121120imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 ≤ (ℑ‘𝐴))
12277, 121absidd 14205 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) = (ℑ‘𝐴))
123117, 122eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 𝑆 = (ℑ‘𝐴))
124108, 123breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (abs‘(𝐴𝐵)) < (ℑ‘𝐴))
12573, 75, 77, 83, 124lelttrd 10233 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(𝐴𝐵)) < (ℑ‘𝐴))
12670, 125eqbrtrrd 4709 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)) < (ℑ‘𝐴))
12788adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
128127subid1d 10419 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘𝐴) − 0) = (ℑ‘𝐴))
129126, 128breqtrrd 4713 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)) < ((ℑ‘𝐴) − 0))
130 0red 10079 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
1318imcld 13979 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
132130, 131, 87ltsub2d 10675 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0 < (ℑ‘𝐵) ↔ ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)) < ((ℑ‘𝐴) − 0)))
133132adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 < (ℑ‘𝐵) ↔ ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)) < ((ℑ‘𝐴) − 0)))
134129, 133mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 < (ℑ‘𝐵))
135 argimgt0 24403 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐵)) → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ (0(,)π))
13668, 134, 135syl2anc 694 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ (0(,)π))
137 eliooord 12271 . . . . . . . 8 ((ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ (0(,)π) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐵)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐵)) < π))
138136, 137syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐵)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐵)) < π))
139138simpld 474 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 < (ℑ‘(log‘𝐵)))
140130, 12, 21ltsub1d 10674 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 < (ℑ‘(log‘𝐵)) ↔ (0 − (ℑ‘(log‘𝐴))) < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴)))))
141140adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐵)) ↔ (0 − (ℑ‘(log‘𝐴))) < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴)))))
142139, 141mpbid 222 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 − (ℑ‘(log‘𝐴))) < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
14367, 142syl5eqbr 4720 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -(ℑ‘(log‘𝐴)) < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
14454, 56, 57, 66, 143lttrd 10236 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -π < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
145 lttri4 10160 . . . 4 (((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝐴) < 0 ∨ (ℑ‘𝐴) = 0 ∨ 0 < (ℑ‘𝐴)))
14687, 118, 145sylancl 695 . . 3 (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) < 0 ∨ (ℑ‘𝐴) = 0 ∨ 0 < (ℑ‘𝐴)))
14739, 53, 144, 146mpjao3dan 1435 . 2 (𝜑 → -π < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
1481a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → π ∈ ℝ)
14930renegcld 10495 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → -(ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
1508adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
15188adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
152151subid1d 10419 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘𝐴) − 0) = (ℑ‘𝐴))
15387adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
15474renegcld 10495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → -(abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
155154adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → -(abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
15672adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
15774adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
158107adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (abs‘(𝐴𝐵)) < 𝑆)
159118ltnri 10184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ¬ 0 < 0
160 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ℑ‘𝐴) = 0 → ((ℑ‘𝐴) < 0 ↔ 0 < 0))
161159, 160mtbiri 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((ℑ‘𝐴) = 0 → ¬ (ℑ‘𝐴) < 0)
162161necon2ai 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((ℑ‘𝐴) < 0 → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
163162, 116sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → 𝑆 = (abs‘(ℑ‘𝐴)))
164 ltle 10164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝐴) < 0 → (ℑ‘𝐴) ≤ 0))
16587, 118, 164sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) < 0 → (ℑ‘𝐴) ≤ 0))
166165imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐴) ≤ 0)
167153, 166absnidd 14196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) = -(ℑ‘𝐴))
168163, 167eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → 𝑆 = -(ℑ‘𝐴))
169158, 168breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (abs‘(𝐴𝐵)) < -(ℑ‘𝐴))
170157, 153, 169ltnegcon2d 10646 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐴) < -(abs‘(𝐴𝐵)))
17181simpld 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → -(abs‘(𝐴𝐵)) ≤ (ℑ‘(𝐴𝐵)))
172171adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → -(abs‘(𝐴𝐵)) ≤ (ℑ‘(𝐴𝐵)))
173153, 155, 156, 170, 172ltletrd 10235 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐴) < (ℑ‘(𝐴𝐵)))
17469adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(𝐴𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)))
175173, 174breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐴) < ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)))
176152, 175eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘𝐴) − 0) < ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)))
177150imcld 13979 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
178177, 31, 153ltsub2d 10675 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘𝐵) < 0 ↔ ((ℑ‘𝐴) − 0) < ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵))))
179176, 178mpbird 247 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐵) < 0)
180 argimlt0 24404 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐵) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ (-π(,)0))
181150, 179, 180syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ (-π(,)0))
182 eliooord 12271 . . . . . . . . 9 ((ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ (-π(,)0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐵)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐵)) < 0))
183181, 182syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐵)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐵)) < 0))
184183simprd 478 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐵)) < 0)
18513, 31, 30, 184ltsub1dd 10677 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) < (0 − (ℑ‘(log‘𝐴))))
186185, 67syl6breqr 4727 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) < -(ℑ‘(log‘𝐴)))
18735simpld 474 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → -π < (ℑ‘(log‘𝐴)))
188 ltnegcon1 10567 . . . . . . 7 ((π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ↔ -(ℑ‘(log‘𝐴)) < π))
1891, 30, 188sylancr 696 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ↔ -(ℑ‘(log‘𝐴)) < π))
190187, 189mpbid 222 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → -(ℑ‘(log‘𝐴)) < π)
19123, 149, 148, 186, 190lttrd 10236 . . . 4 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) < π)
19223, 148, 191ltled 10223 . . 3 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π)
19324simprd 478 . . . . 5 (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐵)) ≤ π)
194193adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (ℑ‘(log‘𝐵)) ≤ π)
19552, 194eqbrtrd 4707 . . 3 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π)
1961a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → π ∈ ℝ)
19712adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ ℝ)
198 0red 10079 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
19921adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
20061simpld 474 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 < (ℑ‘(log‘𝐴)))
201198, 199, 197, 200ltsub2dd 10678 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − 0))
20227adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ ℂ)
203202subid1d 10419 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − 0) = (ℑ‘(log‘𝐵)))
204201, 203breqtrd 4711 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) < (ℑ‘(log‘𝐵)))
205138simprd 478 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐵)) < π)
20657, 197, 196, 204, 205lttrd 10236 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) < π)
20757, 196, 206ltled 10223 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π)
208192, 195, 207, 146mpjao3dan 1435 . 2 (𝜑 → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π)
209147, 208jca 553 1 (𝜑 → (-π < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ∧ ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3o 1053   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  cdif 3604  ifcif 4119   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  -∞cmnf 10110   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  -cneg 10305   / cdiv 10722  +crp 11870  (,)cioo 12213  (,]cioc 12214  cim 13882  abscabs 14018  πcpi 14841  logclog 24346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348
This theorem is referenced by:  logcnlem4  24436
  Copyright terms: Public domain W3C validator