Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logcn 24438
 Description: The logarithm function is continuous away from the branch cut at negative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logcn.d 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
Assertion
Ref Expression
logcn (log ↾ 𝐷) ∈ (𝐷cn→ℂ)

Proof of Theorem logcn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 logf1o 24356 . . . . . . 7 log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log
2 f1of 6175 . . . . . . 7 (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
31, 2ax-mp 5 . . . . . 6 log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log
4 logcn.d . . . . . . 7 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
54logdmss 24433 . . . . . 6 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})
6 fssres 6108 . . . . . 6 ((log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log ∧ 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (log ↾ 𝐷):𝐷⟶ran log)
73, 5, 6mp2an 708 . . . . 5 (log ↾ 𝐷):𝐷⟶ran log
8 ffn 6083 . . . . 5 ((log ↾ 𝐷):𝐷⟶ran log → (log ↾ 𝐷) Fn 𝐷)
97, 8ax-mp 5 . . . 4 (log ↾ 𝐷) Fn 𝐷
10 dffn5 6280 . . . 4 ((log ↾ 𝐷) Fn 𝐷 ↔ (log ↾ 𝐷) = (𝑥𝐷 ↦ ((log ↾ 𝐷)‘𝑥)))
119, 10mpbi 220 . . 3 (log ↾ 𝐷) = (𝑥𝐷 ↦ ((log ↾ 𝐷)‘𝑥))
12 fvres 6245 . . . . 5 (𝑥𝐷 → ((log ↾ 𝐷)‘𝑥) = (log‘𝑥))
134ellogdm 24430 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ+)))
1413simplbi 475 . . . . . . 7 (𝑥𝐷𝑥 ∈ ℂ)
154logdmn0 24431 . . . . . . 7 (𝑥𝐷𝑥 ≠ 0)
1614, 15logcld 24362 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
1716replimd 13981 . . . . 5 (𝑥𝐷 → (log‘𝑥) = ((ℜ‘(log‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))))
18 relog 24388 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (ℜ‘(log‘𝑥)) = (log‘(abs‘𝑥)))
1914, 15, 18syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → (ℜ‘(log‘𝑥)) = (log‘(abs‘𝑥)))
2014, 15absrpcld 14231 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 → (abs‘𝑥) ∈ ℝ+)
21 fvres 6245 . . . . . . . 8 ((abs‘𝑥) ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)) = (log‘(abs‘𝑥)))
2220, 21syl 17 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → ((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)) = (log‘(abs‘𝑥)))
2319, 22eqtr4d 2688 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → (ℜ‘(log‘𝑥)) = ((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)))
2423oveq1d 6705 . . . . 5 (𝑥𝐷 → ((ℜ‘(log‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))) = (((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))))
2512, 17, 243eqtrd 2689 . . . 4 (𝑥𝐷 → ((log ↾ 𝐷)‘𝑥) = (((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))))
2625mpteq2ia 4773 . . 3 (𝑥𝐷 ↦ ((log ↾ 𝐷)‘𝑥)) = (𝑥𝐷 ↦ (((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))))
2711, 26eqtri 2673 . 2 (log ↾ 𝐷) = (𝑥𝐷 ↦ (((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))))
28 eqid 2651 . . . 4 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2928addcn 22715 . . . . 5 + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
3029a1i 11 . . . 4 (⊤ → + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
3128cnfldtopon 22633 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
3214ssriv 3640 . . . . . . . 8 𝐷 ⊆ ℂ
33 resttopon 21013 . . . . . . . 8 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
3431, 32, 33mp2an 708 . . . . . . 7 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷)
3534a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
36 absf 14121 . . . . . . . . . . . 12 abs:ℂ⟶ℝ
37 fssres 6108 . . . . . . . . . . . 12 ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → (abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ)
3836, 32, 37mp2an 708 . . . . . . . . . . 11 (abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ
3938a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ)
4039feqmptd 6288 . . . . . . . . 9 (⊤ → (abs ↾ 𝐷) = (𝑥𝐷 ↦ ((abs ↾ 𝐷)‘𝑥)))
41 fvres 6245 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐷 → ((abs ↾ 𝐷)‘𝑥) = (abs‘𝑥))
4241mpteq2ia 4773 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷 ↦ ((abs ↾ 𝐷)‘𝑥)) = (𝑥𝐷 ↦ (abs‘𝑥))
4340, 42syl6eq 2701 . . . . . . . 8 (⊤ → (abs ↾ 𝐷) = (𝑥𝐷 ↦ (abs‘𝑥)))
44 ffn 6083 . . . . . . . . . . 11 ((abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ → (abs ↾ 𝐷) Fn 𝐷)
4538, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (abs ↾ 𝐷) Fn 𝐷
4641, 20eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐷 → ((abs ↾ 𝐷)‘𝑥) ∈ ℝ+)
4746rgen 2951 . . . . . . . . . 10 𝑥𝐷 ((abs ↾ 𝐷)‘𝑥) ∈ ℝ+
48 ffnfv 6428 . . . . . . . . . 10 ((abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ+ ↔ ((abs ↾ 𝐷) Fn 𝐷 ∧ ∀𝑥𝐷 ((abs ↾ 𝐷)‘𝑥) ∈ ℝ+))
4945, 47, 48mpbir2an 975 . . . . . . . . 9 (abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ+
50 rpssre 11881 . . . . . . . . . . 11 + ⊆ ℝ
51 ax-resscn 10031 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
5250, 51sstri 3645 . . . . . . . . . 10 + ⊆ ℂ
53 abscncf 22751 . . . . . . . . . . 11 abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
54 rescncf 22747 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ⊆ ℂ → (abs ∈ (ℂ–cn→ℝ) → (abs ↾ 𝐷) ∈ (𝐷cn→ℝ)))
5532, 53, 54mp2 9 . . . . . . . . . 10 (abs ↾ 𝐷) ∈ (𝐷cn→ℝ)
56 cncffvrn 22748 . . . . . . . . . 10 ((ℝ+ ⊆ ℂ ∧ (abs ↾ 𝐷) ∈ (𝐷cn→ℝ)) → ((abs ↾ 𝐷) ∈ (𝐷cn→ℝ+) ↔ (abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ+))
5752, 55, 56mp2an 708 . . . . . . . . 9 ((abs ↾ 𝐷) ∈ (𝐷cn→ℝ+) ↔ (abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ+)
5849, 57mpbir 221 . . . . . . . 8 (abs ↾ 𝐷) ∈ (𝐷cn→ℝ+)
5943, 58syl6eqelr 2739 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥𝐷 ↦ (abs‘𝑥)) ∈ (𝐷cn→ℝ+))
60 eqid 2651 . . . . . . . . 9 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷)
61 eqid 2651 . . . . . . . . 9 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t+) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t+)
6228, 60, 61cncfcn 22759 . . . . . . . 8 ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ ℝ+ ⊆ ℂ) → (𝐷cn→ℝ+) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t+)))
6332, 52, 62mp2an 708 . . . . . . 7 (𝐷cn→ℝ+) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t+))
6459, 63syl6eleq 2740 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥𝐷 ↦ (abs‘𝑥)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t+)))
65 ssid 3657 . . . . . . . . . 10 ℂ ⊆ ℂ
66 cncfss 22749 . . . . . . . . . 10 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℝ+cn→ℝ) ⊆ (ℝ+cn→ℂ))
6751, 65, 66mp2an 708 . . . . . . . . 9 (ℝ+cn→ℝ) ⊆ (ℝ+cn→ℂ)
68 relogcn 24429 . . . . . . . . 9 (log ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+cn→ℝ)
6967, 68sselii 3633 . . . . . . . 8 (log ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+cn→ℂ)
7069a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (log ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+cn→ℂ))
7128cnfldtop 22634 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
7231toponunii 20769 . . . . . . . . . . . 12 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
7372restid 16141 . . . . . . . . . . 11 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
7471, 73ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
7574eqcomi 2660 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
7628, 61, 75cncfcn 22759 . . . . . . . 8 ((ℝ+ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℝ+cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t+) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
7752, 65, 76mp2an 708 . . . . . . 7 (ℝ+cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t+) Cn (TopOpen‘ℂfld))
7870, 77syl6eleq 2740 . . . . . 6 (⊤ → (log ↾ ℝ+) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t+) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
7935, 64, 78cnmpt11f 21515 . . . . 5 (⊤ → (𝑥𝐷 ↦ ((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
8028, 60, 75cncfcn 22759 . . . . . 6 ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐷cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
8132, 65, 80mp2an 708 . . . . 5 (𝐷cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn (TopOpen‘ℂfld))
8279, 81syl6eleqr 2741 . . . 4 (⊤ → (𝑥𝐷 ↦ ((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥))) ∈ (𝐷cn→ℂ))
8316imcld 13979 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℝ)
8483recnd 10106 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℂ)
8584adantl 481 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥𝐷) → (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℂ)
86 eqidd 2652 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥))) = (𝑥𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥))))
87 eqidd 2652 . . . . . 6 (⊤ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦)))
88 oveq2 6698 . . . . . 6 (𝑦 = (ℑ‘(log‘𝑥)) → (i · 𝑦) = (i · (ℑ‘(log‘𝑥))))
8985, 86, 87, 88fmptco 6436 . . . . 5 (⊤ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦)) ∘ (𝑥𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥)))) = (𝑥𝐷 ↦ (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))))
90 cncfss 22749 . . . . . . . . 9 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐷cn→ℝ) ⊆ (𝐷cn→ℂ))
9151, 65, 90mp2an 708 . . . . . . . 8 (𝐷cn→ℝ) ⊆ (𝐷cn→ℂ)
924logcnlem5 24437 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥))) ∈ (𝐷cn→ℝ)
9391, 92sselii 3633 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥))) ∈ (𝐷cn→ℂ)
9493a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥))) ∈ (𝐷cn→ℂ))
95 ax-icn 10033 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
96 eqid 2651 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦))
9796mulc1cncf 22755 . . . . . . 7 (i ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
9895, 97mp1i 13 . . . . . 6 (⊤ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
9994, 98cncfco 22757 . . . . 5 (⊤ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦)) ∘ (𝑥𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥)))) ∈ (𝐷cn→ℂ))
10089, 99eqeltrrd 2731 . . . 4 (⊤ → (𝑥𝐷 ↦ (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))) ∈ (𝐷cn→ℂ))
10128, 30, 82, 100cncfmpt2f 22764 . . 3 (⊤ → (𝑥𝐷 ↦ (((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥))))) ∈ (𝐷cn→ℂ))
102101trud 1533 . 2 (𝑥𝐷 ↦ (((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥))))) ∈ (𝐷cn→ℂ)
10327, 102eqeltri 2726 1 (log ↾ 𝐷) ∈ (𝐷cn→ℂ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1523  ⊤wtru 1524   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941   ∖ cdif 3604   ⊆ wss 3607  {csn 4210   ↦ cmpt 4762  ran crn 5144   ↾ cres 5145   ∘ ccom 5147   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  –1-1-onto→wf1o 5925  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974  ici 9976   + caddc 9977   · cmul 9979  -∞cmnf 10110  ℝ+crp 11870  (,]cioc 12214  ℜcre 13881  ℑcim 13882  abscabs 14018   ↾t crest 16128  TopOpenctopn 16129  ℂfldccnfld 19794  Topctop 20746  TopOnctopon 20763   Cn ccn 21076   ×t ctx 21411  –cn→ccncf 22726  logclog 24346 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-tan 14846  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348 This theorem is referenced by:  dvlog  24442  efopnlem2  24448  dvcncxp1  24529  cxpcn  24531  lgamgulmlem2  24801  lgamcvg2  24826  areacirclem4  33633
 Copyright terms: Public domain W3C validator