Theorem logcj 24397

Description: The natural logarithm distributes under conjugation away from the branch cut. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
logcj	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (log‘(∗‘𝐴)) = (∗‘(log‘𝐴)))

Proof of Theorem logcj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6229	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (ℑ‘𝐴) = (ℑ‘0))
2		im0 13937	. . . . . . 7 ⊢ (ℑ‘0) = 0
3	1, 2	syl6eq 2701	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (ℑ‘𝐴) = 0)
4	3	necon3i 2855	. . . . 5 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ≠ 0 → 𝐴 ≠ 0)
5		logcl 24360	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
6	4, 5	sylan2 490	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
7		efcj 14866	. . . 4 ⊢ ((log‘𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(∗‘(log‘𝐴))) = (∗‘(exp‘(log‘𝐴))))
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (exp‘(∗‘(log‘𝐴))) = (∗‘(exp‘(log‘𝐴))))
9		eflog 24368	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
10	4, 9	sylan2 490	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
11	10	fveq2d 6233	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘(exp‘(log‘𝐴))) = (∗‘𝐴))
12	8, 11	eqtrd 2685	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (exp‘(∗‘(log‘𝐴))) = (∗‘𝐴))
13		cjcl 13889	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
14	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
15		simpr 476	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
16	15, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → 𝐴 ≠ 0)
17		cjne0 13947	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ≠ 0 ↔ (∗‘𝐴) ≠ 0))
18	17	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (𝐴 ≠ 0 ↔ (∗‘𝐴) ≠ 0))
19	16, 18	mpbid 222	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘𝐴) ≠ 0)
20	6	cjcld 13980	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ)
21		rpre 11877	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ+ → -𝐴 ∈ ℝ)
22	21	renegcld 10495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ+ → --𝐴 ∈ ℝ)
23		negneg 10369	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
24	23	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → --𝐴 = 𝐴)
25	24	eleq1d 2715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (--𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
26	22, 25	syl5ib 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (-𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ))
27		lognegb 24381	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝐴)) = π))
28	4, 27	sylan2 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝐴)) = π))
29		reim0b 13903	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
31	26, 28, 30	3imtr3d 282	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) = π → (ℑ‘𝐴) = 0))
32	31	necon3d 2844	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℑ‘𝐴) ≠ 0 → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π))
33	15, 32	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π)
34	33	necomd 2878	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → π ≠ (ℑ‘(log‘𝐴)))
35	6	imcld 13979	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
36		pire 24255	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℝ
37	36	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → π ∈ ℝ)
38		logimcl 24361	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
39	4, 38	sylan2 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
40	39	simprd 478	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π)
41	35, 37, 40	leltned 10228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) < π ↔ π ≠ (ℑ‘(log‘𝐴))))
42	34, 41	mpbird 247	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) < π)
43		ltneg 10566	. . . . . . 7 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) < π ↔ -π < -(ℑ‘(log‘𝐴))))
44	35, 36, 43	sylancl 695	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) < π ↔ -π < -(ℑ‘(log‘𝐴))))
45	42, 44	mpbid 222	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → -π < -(ℑ‘(log‘𝐴)))
46	6	imcjd 13989	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(∗‘(log‘𝐴))) = -(ℑ‘(log‘𝐴)))
47	45, 46	breqtrrd 4713	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → -π < (ℑ‘(∗‘(log‘𝐴))))
48	39	simpld 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → -π < (ℑ‘(log‘𝐴)))
49	36	renegcli 10380	. . . . . . . 8 ⊢ -π ∈ ℝ
50		ltle 10164	. . . . . . . 8 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) → -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴))))
51	49, 35, 50	sylancr 696	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) → -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴))))
52	48, 51	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)))
53		lenegcon1 10570	. . . . . . 7 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ) → (-π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)) ↔ -(ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
54	36, 35, 53	sylancr 696	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (-π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)) ↔ -(ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
55	52, 54	mpbid 222	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → -(ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π)
56	46, 55	eqbrtrd 4707	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(∗‘(log‘𝐴))) ≤ π)
57		ellogrn 24351	. . . 4 ⊢ ((∗‘(log‘𝐴)) ∈ ran log ↔ ((∗‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘(∗‘(log‘𝐴))) ∧ (ℑ‘(∗‘(log‘𝐴))) ≤ π))
58	20, 47, 56, 57	syl3anbrc 1265	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘(log‘𝐴)) ∈ ran log)
59		logeftb 24375	. . 3 ⊢ (((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐴) ≠ 0 ∧ (∗‘(log‘𝐴)) ∈ ran log) → ((log‘(∗‘𝐴)) = (∗‘(log‘𝐴)) ↔ (exp‘(∗‘(log‘𝐴))) = (∗‘𝐴)))
60	14, 19, 58, 59	syl3anc 1366	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → ((log‘(∗‘𝐴)) = (∗‘(log‘𝐴)) ↔ (exp‘(∗‘(log‘𝐴))) = (∗‘𝐴)))
61	12, 60	mpbird 247	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (log‘(∗‘𝐴)) = (∗‘(log‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823   class class class wbr 4685  ran crn 5144  ‘cfv 5926  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974   < clt 10112   ≤ cle 10113  -cneg 10305  ℝ⁺crp 11870  ∗ccj 13880  ℑcim 13882  expce 14836  πcpi 14841  logclog 24346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348

This theorem is referenced by:  argimlt0  24404  isosctrlem2  24594  atancj  24682