Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  logbpw2m1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logbpw2m1 42686
Description: The floor of the binary logarithm of 2 to the power of a positive integer minus 1 is equal to the integer minus 1. (Contributed by AV, 31-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
logbpw2m1 (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) = (𝐼 − 1))

Proof of Theorem logbpw2m1
StepHypRef Expression
1 2rp 11875 . . . . 5 2 ∈ ℝ+
21a1i 11 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
3 2nn0 11347 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ0
43a1i 11 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
5 nnnn0 11337 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℕ0)
64, 5nn0expcld 13071 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℕ0)
7 nnge1 11084 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐼)
8 2re 11128 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
98a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
10 1zzd 11446 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
11 nnz 11437 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℤ)
12 1lt2 11232 . . . . . . . . . 10 1 < 2
1312a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℕ → 1 < 2)
149, 10, 11, 13leexp2d 13079 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝐼 ↔ (2↑1) ≤ (2↑𝐼)))
15 2cn 11129 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
16 exp1 12906 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (2↑1) = 2
1817a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑1) = 2)
1918breq1d 4695 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑1) ≤ (2↑𝐼) ↔ 2 ≤ (2↑𝐼)))
2014, 19bitrd 268 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝐼 ↔ 2 ≤ (2↑𝐼)))
217, 20mpbid 222 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → 2 ≤ (2↑𝐼))
22 nn0ge2m1nn 11398 . . . . . 6 (((2↑𝐼) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (2↑𝐼)) → ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℕ)
236, 21, 22syl2anc 694 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℕ)
2423nnrpd 11908 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℝ+)
25 1ne2 11278 . . . . . 6 1 ≠ 2
2625necomi 2877 . . . . 5 2 ≠ 1
2726a1i 11 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → 2 ≠ 1)
28 relogbcl 24556 . . . 4 ((2 ∈ ℝ+ ∧ ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) ∈ ℝ)
292, 24, 27, 28syl3anc 1366 . . 3 (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) ∈ ℝ)
3029flcld 12639 . 2 (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∈ ℤ)
31 peano2zm 11458 . . 3 (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 − 1) ∈ ℤ)
3211, 31syl 17 . 2 (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ∈ ℤ)
33 2z 11447 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
34 uzid 11740 . . . . . . 7 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
3533, 34ax-mp 5 . . . . . 6 2 ∈ (ℤ‘2)
36 nnlogbexp 24564 . . . . . 6 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝐼 − 1) ∈ ℤ) → (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) = (𝐼 − 1))
3735, 32, 36sylancr 696 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) = (𝐼 − 1))
3837fveq2d 6233 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb (2↑(𝐼 − 1)))) = (⌊‘(𝐼 − 1)))
39 flid 12649 . . . . 5 ((𝐼 − 1) ∈ ℤ → (⌊‘(𝐼 − 1)) = (𝐼 − 1))
4032, 39syl 17 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(𝐼 − 1)) = (𝐼 − 1))
4138, 40eqtrd 2685 . . 3 (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb (2↑(𝐼 − 1)))) = (𝐼 − 1))
42 2nn 11223 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
4342a1i 11 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
44 nnm1nn0 11372 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ∈ ℕ0)
4543, 44nnexpcld 13070 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℕ)
4645nnrpd 11908 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℝ+)
47 relogbcl 24556 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ+ ∧ (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
482, 46, 27, 47syl3anc 1366 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
49 pw2m1lepw2m1 42635 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1))
5035a1i 11 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ (ℤ‘2))
51 logbleb 24566 . . . . . 6 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℝ+ ∧ ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℝ+) → ((2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1) ↔ (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1))))
5250, 46, 24, 51syl3anc 1366 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1) ↔ (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1))))
5349, 52mpbid 222 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)))
54 flwordi 12653 . . . 4 (((2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ∈ ℝ ∧ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) ∈ ℝ ∧ (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1))) → (⌊‘(2 logb (2↑(𝐼 − 1)))) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))))
5548, 29, 53, 54syl3anc 1366 . . 3 (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb (2↑(𝐼 − 1)))) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))))
5641, 55eqbrtrrd 4709 . 2 (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))))
5743, 5nnexpcld 13070 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℕ)
5857nnnn0d 11389 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℕ0)
5958, 21, 22syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℕ)
6059nnrpd 11908 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℝ+)
612, 60, 27, 28syl3anc 1366 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) ∈ ℝ)
6261flcld 12639 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∈ ℤ)
6362zred 11520 . . 3 (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∈ ℝ)
64 nnre 11065 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℝ)
65 peano2rem 10386 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℝ → (𝐼 − 1) ∈ ℝ)
6664, 65syl 17 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ∈ ℝ)
67 peano2re 10247 . . . 4 ((𝐼 − 1) ∈ ℝ → ((𝐼 − 1) + 1) ∈ ℝ)
6866, 67syl 17 . . 3 (𝐼 ∈ ℕ → ((𝐼 − 1) + 1) ∈ ℝ)
69 flle 12640 . . . 4 ((2 logb ((2↑𝐼) − 1)) ∈ ℝ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)))
7029, 69syl 17 . . 3 (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)))
7157nnrpd 11908 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℝ+)
72 relogbcl 24556 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ+ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb (2↑𝐼)) ∈ ℝ)
732, 71, 27, 72syl3anc 1366 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑𝐼)) ∈ ℝ)
7457nnred 11073 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℝ)
7574ltm1d 10994 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) − 1) < (2↑𝐼))
76 logblt 24567 . . . . . 6 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℝ+ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ+) → (((2↑𝐼) − 1) < (2↑𝐼) ↔ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) < (2 logb (2↑𝐼))))
7750, 24, 71, 76syl3anc 1366 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → (((2↑𝐼) − 1) < (2↑𝐼) ↔ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) < (2 logb (2↑𝐼))))
7875, 77mpbid 222 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) < (2 logb (2↑𝐼)))
7964leidd 10632 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼𝐼)
80 nnlogbexp 24564 . . . . . 6 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (2 logb (2↑𝐼)) = 𝐼)
8135, 11, 80sylancr 696 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑𝐼)) = 𝐼)
82 nncn 11066 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℂ)
83 npcan1 10493 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℂ → ((𝐼 − 1) + 1) = 𝐼)
8482, 83syl 17 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → ((𝐼 − 1) + 1) = 𝐼)
8579, 81, 843brtr4d 4717 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑𝐼)) ≤ ((𝐼 − 1) + 1))
8629, 73, 68, 78, 85ltletrd 10235 . . 3 (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) < ((𝐼 − 1) + 1))
8763, 29, 68, 70, 86lelttrd 10233 . 2 (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) < ((𝐼 − 1) + 1))
88 zgeltp1eq 41643 . . 3 (((⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∈ ℤ ∧ (𝐼 − 1) ∈ ℤ) → (((𝐼 − 1) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∧ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) < ((𝐼 − 1) + 1)) → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) = (𝐼 − 1)))
8988imp 444 . 2 ((((⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∈ ℤ ∧ (𝐼 − 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝐼 − 1) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∧ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) < ((𝐼 − 1) + 1))) → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) = (𝐼 − 1))
9030, 32, 56, 87, 89syl22anc 1367 1 (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) = (𝐼 − 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  +crp 11870  cfl 12631  cexp 12900   logb clogb 24547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-cxp 24349  df-logb 24548
This theorem is referenced by:  fllog2  42687  blenpw2m1  42698
  Copyright terms: Public domain W3C validator