Theorem logblog 24650

Description: The general logarithm to the base being Euler's constant regarded as function is the natural logarithm. (Contributed by AV, 12-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
logblog	⊢ (curry logb ‘e) = log

Proof of Theorem logblog

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		loge 24453	. . . . . 6 ⊢ (log‘e) = 1
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (log‘e) = 1)
3	2	oveq2d 6781	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((log‘𝑦) / (log‘e)) = ((log‘𝑦) / 1))
4		eldifsn 4425	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
5		logcl 24435	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
6	4, 5	sylbi 207	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
7	6	div1d 10906	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((log‘𝑦) / 1) = (log‘𝑦))
8	3, 7	eqtrd 2758	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((log‘𝑦) / (log‘e)) = (log‘𝑦))
9	8	mpteq2ia 4848	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ ((log‘𝑦) / (log‘e))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (log‘𝑦))
10		ere 14939	. . . 4 ⊢ e ∈ ℝ
11	10	recni 10165	. . 3 ⊢ e ∈ ℂ
12		epr 15056	. . . 4 ⊢ e ∈ ℝ+
13		rpne0 11962	. . . 4 ⊢ (e ∈ ℝ+ → e ≠ 0)
14	12, 13	ax-mp 5	. . 3 ⊢ e ≠ 0
15		egt2lt3 15054	. . . 4 ⊢ (2 < e ∧ e < 3)
16		1re 10152	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
17		2re 11203	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
18	16, 17, 10	3pm3.2i 1376	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ)
19		1lt2 11307	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 2
20		lttr 10227	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ) → ((1 < 2 ∧ 2 < e) → 1 < e))
21	20	expd 451	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ) → (1 < 2 → (2 < e → 1 < e)))
22	18, 19, 21	mp2 9	. . . . . . 7 ⊢ (2 < e → 1 < e)
23	22	olcd 407	. . . . . 6 ⊢ (2 < e → (e < 1 ∨ 1 < e))
24	10, 16	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (e ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)
25		lttri2 10233	. . . . . . 7 ⊢ ((e ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (e ≠ 1 ↔ (e < 1 ∨ 1 < e)))
26	24, 25	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (2 < e → (e ≠ 1 ↔ (e < 1 ∨ 1 < e)))
27	23, 26	mpbird 247	. . . . 5 ⊢ (2 < e → e ≠ 1)
28	27	adantr 472	. . . 4 ⊢ ((2 < e ∧ e < 3) → e ≠ 1)
29	15, 28	ax-mp 5	. . 3 ⊢ e ≠ 1
30		logbmpt 24646	. . 3 ⊢ ((e ∈ ℂ ∧ e ≠ 0 ∧ e ≠ 1) → (curry logb ‘e) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ ((log‘𝑦) / (log‘e))))
31	11, 14, 29, 30	mp3an 1537	. 2 ⊢ (curry logb ‘e) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ ((log‘𝑦) / (log‘e)))
32		logf1o 24431	. . . 4 ⊢ log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log
33		f1ofn 6251	. . . 4 ⊢ (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → log Fn (ℂ ∖ {0}))
34	32, 33	ax-mp 5	. . 3 ⊢ log Fn (ℂ ∖ {0})
35		dffn5 6355	. . 3 ⊢ (log Fn (ℂ ∖ {0}) ↔ log = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (log‘𝑦)))
36	34, 35	mpbi 220	. 2 ⊢ log = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (log‘𝑦))
37	9, 31, 36	3eqtr4i 2756	1 ⊢ (curry logb ‘e) = log

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1596   ∈ wcel 2103   ≠ wne 2896   ∖ cdif 3677  {csn 4285   class class class wbr 4760   ↦ cmpt 4837  ran crn 5219   Fn wfn 5996  –1-1-onto→wf1o 6000  ‘cfv 6001  (class class class)co 6765  curry ccur 7511  ℂcc 10047  ℝcr 10048  0cc0 10049  1c1 10050   < clt 10187   / cdiv 10797  2c2 11183  3c3 11184  ℝ⁺crp 11946  eceu 14913  logclog 24421   log_b clogb 24622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127  ax-addf 10128  ax-mulf 10129

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-iin 4631  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-of 7014  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-supp 7416  df-cur 7513  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-2o 7681  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-pm 7977  df-ixp 8026  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-fsupp 8392  df-fi 8433  df-sup 8464  df-inf 8465  df-oi 8531  df-card 8878  df-cda 9103  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-q 11903  df-rp 11947  df-xneg 12060  df-xadd 12061  df-xmul 12062  df-ioo 12293  df-ioc 12294  df-ico 12295  df-icc 12296  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-fl 12708  df-mod 12784  df-seq 12917  df-exp 12976  df-fac 13176  df-bc 13205  df-hash 13233  df-shft 13927  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-limsup 14322  df-clim 14339  df-rlim 14340  df-sum 14537  df-ef 14918  df-e 14919  df-sin 14920  df-cos 14921  df-pi 14923  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-starv 16079  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-ip 16082  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-unif 16088  df-hom 16089  df-cco 16090  df-rest 16206  df-topn 16207  df-0g 16225  df-gsum 16226  df-topgen 16227  df-pt 16228  df-prds 16231  df-xrs 16285  df-qtop 16290  df-imas 16291  df-xps 16293  df-mre 16369  df-mrc 16370  df-acs 16372  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-submnd 17458  df-mulg 17663  df-cntz 17871  df-cmn 18316  df-psmet 19861  df-xmet 19862  df-met 19863  df-bl 19864  df-mopn 19865  df-fbas 19866  df-fg 19867  df-cnfld 19870  df-top 20822  df-topon 20839  df-topsp 20860  df-bases 20873  df-cld 20946  df-ntr 20947  df-cls 20948  df-nei 21025  df-lp 21063  df-perf 21064  df-cn 21154  df-cnp 21155  df-haus 21242  df-tx 21488  df-hmeo 21681  df-fil 21772  df-fm 21864  df-flim 21865  df-flf 21866  df-xms 22247  df-ms 22248  df-tms 22249  df-cncf 22803  df-limc 23750  df-dv 23751  df-log 24423  df-logb 24623

This theorem is referenced by: (None)