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Theorem log2ublem3 24720
Description: Lemma for log2ub 24721. In decimal, this is a proof that the first four terms of the series for log2 is less than 53056 / 76545. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
log2ublem3 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ 53056

Proof of Theorem log2ublem3
StepHypRef Expression
1 0le0 11148 . . . . . . 7 0 ≤ 0
2 risefall0lem 14801 . . . . . . . . . . 11 (0...(0 − 1)) = ∅
32sumeq1i 14472 . . . . . . . . . 10 Σ𝑛 ∈ (0...(0 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = Σ𝑛 ∈ ∅ (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))
4 sum0 14496 . . . . . . . . . 10 Σ𝑛 ∈ ∅ (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = 0
53, 4eqtri 2673 . . . . . . . . 9 Σ𝑛 ∈ (0...(0 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = 0
65oveq2i 6701 . . . . . . . 8 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...(0 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) = (((3↑7) · (5 · 7)) · 0)
7 3cn 11133 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℂ
8 7nn0 11352 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℕ0
9 expcl 12918 . . . . . . . . . . 11 ((3 ∈ ℂ ∧ 7 ∈ ℕ0) → (3↑7) ∈ ℂ)
107, 8, 9mp2an 708 . . . . . . . . . 10 (3↑7) ∈ ℂ
11 5cn 11138 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℂ
12 7cn 11142 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℂ
1311, 12mulcli 10083 . . . . . . . . . 10 (5 · 7) ∈ ℂ
1410, 13mulcli 10083 . . . . . . . . 9 ((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℂ
1514mul01i 10264 . . . . . . . 8 (((3↑7) · (5 · 7)) · 0) = 0
166, 15eqtri 2673 . . . . . . 7 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...(0 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) = 0
17 2cn 11129 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
1817mul01i 10264 . . . . . . 7 (2 · 0) = 0
191, 16, 183brtr4i 4715 . . . . . 6 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...(0 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 0)
20 0nn0 11345 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
21 2nn0 11347 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
22 5nn0 11350 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℕ0
2321, 22deccl 11550 . . . . . . . . 9 25 ∈ ℕ0
2423, 22deccl 11550 . . . . . . . 8 255 ∈ ℕ0
25 1nn0 11346 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
2624, 25deccl 11550 . . . . . . 7 2551 ∈ ℕ0
2726, 22deccl 11550 . . . . . 6 25515 ∈ ℕ0
28 eqid 2651 . . . . . 6 (0 − 1) = (0 − 1)
2927nn0cni 11342 . . . . . . 7 25515 ∈ ℂ
3029addid2i 10262 . . . . . 6 (0 + 25515) = 25515
31 3nn0 11348 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
327addid1i 10261 . . . . . 6 (3 + 0) = 3
3329mulid2i 10081 . . . . . . 7 (1 · 25515) = 25515
3418oveq1i 6700 . . . . . . . . 9 ((2 · 0) + 1) = (0 + 1)
35 0p1e1 11170 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
3634, 35eqtri 2673 . . . . . . . 8 ((2 · 0) + 1) = 1
3736oveq1i 6700 . . . . . . 7 (((2 · 0) + 1) · 25515) = (1 · 25515)
3822, 8nn0mulcli 11369 . . . . . . . 8 (5 · 7) ∈ ℕ0
398, 21deccl 11550 . . . . . . . 8 72 ∈ ℕ0
40 9nn0 11354 . . . . . . . 8 9 ∈ ℕ0
41 2p1e3 11189 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
42 8nn0 11353 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℕ0
43 1p1e2 11172 . . . . . . . . . . 11 (1 + 1) = 2
44 9cn 11146 . . . . . . . . . . . . . 14 9 ∈ ℂ
45 exp1 12906 . . . . . . . . . . . . . 14 (9 ∈ ℂ → (9↑1) = 9)
4644, 45ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (9↑1) = 9
4746oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . 12 ((9↑1) · 9) = (9 · 9)
48 9t9e81 11708 . . . . . . . . . . . 12 (9 · 9) = 81
4947, 48eqtri 2673 . . . . . . . . . . 11 ((9↑1) · 9) = 81
5040, 25, 43, 49numexpp1 15829 . . . . . . . . . 10 (9↑2) = 81
51 8cn 11144 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℂ
52 9t8e72 11707 . . . . . . . . . . 11 (9 · 8) = 72
5344, 51, 52mulcomli 10085 . . . . . . . . . 10 (8 · 9) = 72
5444mulid2i 10081 . . . . . . . . . 10 (1 · 9) = 9
5540, 42, 25, 50, 40, 53, 54decmul1 11623 . . . . . . . . 9 ((9↑2) · 9) = 729
5640, 21, 41, 55numexpp1 15829 . . . . . . . 8 (9↑3) = 729
5731, 25deccl 11550 . . . . . . . 8 31 ∈ ℕ0
58 eqid 2651 . . . . . . . . 9 72 = 72
59 eqid 2651 . . . . . . . . 9 31 = 31
60 7t5e35 11689 . . . . . . . . . . 11 (7 · 5) = 35
6112, 11, 60mulcomli 10085 . . . . . . . . . 10 (5 · 7) = 35
62 7p3e10 11641 . . . . . . . . . . 11 (7 + 3) = 10
6312, 7, 62addcomli 10266 . . . . . . . . . 10 (3 + 7) = 10
64 ax-1cn 10032 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
65 3p1e4 11191 . . . . . . . . . . . . 13 (3 + 1) = 4
667, 64, 65addcomli 10266 . . . . . . . . . . . 12 (1 + 3) = 4
6766oveq2i 6701 . . . . . . . . . . 11 ((3 · 7) + (1 + 3)) = ((3 · 7) + 4)
68 4nn0 11349 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℕ0
69 7t3e21 11687 . . . . . . . . . . . . 13 (7 · 3) = 21
7012, 7, 69mulcomli 10085 . . . . . . . . . . . 12 (3 · 7) = 21
71 4cn 11136 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℂ
72 4p1e5 11192 . . . . . . . . . . . . 13 (4 + 1) = 5
7371, 64, 72addcomli 10266 . . . . . . . . . . . 12 (1 + 4) = 5
7421, 25, 68, 70, 73decaddi 11617 . . . . . . . . . . 11 ((3 · 7) + 4) = 25
7567, 74eqtri 2673 . . . . . . . . . 10 ((3 · 7) + (1 + 3)) = 25
7661oveq1i 6700 . . . . . . . . . . 11 ((5 · 7) + 0) = (35 + 0)
7731, 22deccl 11550 . . . . . . . . . . . . 13 35 ∈ ℕ0
7877nn0cni 11342 . . . . . . . . . . . 12 35 ∈ ℂ
7978addid1i 10261 . . . . . . . . . . 11 (35 + 0) = 35
8076, 79eqtri 2673 . . . . . . . . . 10 ((5 · 7) + 0) = 35
8131, 22, 25, 20, 61, 63, 8, 22, 31, 75, 80decmac 11604 . . . . . . . . 9 (((5 · 7) · 7) + (3 + 7)) = 255
8225dec0h 11560 . . . . . . . . . 10 1 = 01
83 3t2e6 11217 . . . . . . . . . . . 12 (3 · 2) = 6
8483, 35oveq12i 6702 . . . . . . . . . . 11 ((3 · 2) + (0 + 1)) = (6 + 1)
85 6p1e7 11194 . . . . . . . . . . 11 (6 + 1) = 7
8684, 85eqtri 2673 . . . . . . . . . 10 ((3 · 2) + (0 + 1)) = 7
87 5t2e10 11672 . . . . . . . . . . 11 (5 · 2) = 10
8825, 20, 35, 87decsuc 11573 . . . . . . . . . 10 ((5 · 2) + 1) = 11
8931, 22, 20, 25, 61, 82, 21, 25, 25, 86, 88decmac 11604 . . . . . . . . 9 (((5 · 7) · 2) + 1) = 71
908, 21, 31, 25, 58, 59, 38, 25, 8, 81, 89decma2c 11606 . . . . . . . 8 (((5 · 7) · 72) + 31) = 2551
91 9t3e27 11702 . . . . . . . . . . 11 (9 · 3) = 27
9244, 7, 91mulcomli 10085 . . . . . . . . . 10 (3 · 9) = 27
93 7p4e11 11643 . . . . . . . . . 10 (7 + 4) = 11
9421, 8, 68, 92, 41, 25, 93decaddci 11618 . . . . . . . . 9 ((3 · 9) + 4) = 31
95 9t5e45 11704 . . . . . . . . . 10 (9 · 5) = 45
9644, 11, 95mulcomli 10085 . . . . . . . . 9 (5 · 9) = 45
9740, 31, 22, 61, 22, 68, 94, 96decmul1c 11625 . . . . . . . 8 ((5 · 7) · 9) = 315
9838, 39, 40, 56, 22, 57, 90, 97decmul2c 11627 . . . . . . 7 ((5 · 7) · (9↑3)) = 25515
9933, 37, 983eqtr4ri 2684 . . . . . 6 ((5 · 7) · (9↑3)) = (((2 · 0) + 1) · 25515)
10019, 20, 27, 20, 28, 30, 31, 32, 99log2ublem2 24719 . . . . 5 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...0)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 25515)
10140, 68deccl 11550 . . . . . 6 94 ∈ ℕ0
102101, 22deccl 11550 . . . . 5 945 ∈ ℕ0
103 1m1e0 11127 . . . . 5 (1 − 1) = 0
104 eqid 2651 . . . . . 6 25515 = 25515
105 eqid 2651 . . . . . 6 945 = 945
106 6nn0 11351 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℕ0
10721, 106deccl 11550 . . . . . . . 8 26 ∈ ℕ0
108107, 68deccl 11550 . . . . . . 7 264 ∈ ℕ0
109 5p1e6 11193 . . . . . . 7 (5 + 1) = 6
110 eqid 2651 . . . . . . . 8 2551 = 2551
111 eqid 2651 . . . . . . . 8 94 = 94
112 eqid 2651 . . . . . . . . 9 255 = 255
113 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 25 = 25
11421, 22, 109, 113decsuc 11573 . . . . . . . . 9 (25 + 1) = 26
115 9p5e14 11661 . . . . . . . . . 10 (9 + 5) = 14
11644, 11, 115addcomli 10266 . . . . . . . . 9 (5 + 9) = 14
11723, 22, 40, 112, 114, 68, 116decaddci 11618 . . . . . . . 8 (255 + 9) = 264
11824, 25, 40, 68, 110, 111, 117, 73decadd 11608 . . . . . . 7 (2551 + 94) = 2645
119108, 22, 109, 118decsuc 11573 . . . . . 6 ((2551 + 94) + 1) = 2646
120 5p5e10 11634 . . . . . 6 (5 + 5) = 10
12126, 22, 101, 22, 104, 105, 119, 120decaddc2 11613 . . . . 5 (25515 + 945) = 26460
12244sqvali 12983 . . . . . . . 8 (9↑2) = (9 · 9)
123 3t3e9 11218 . . . . . . . . 9 (3 · 3) = 9
124123oveq1i 6700 . . . . . . . 8 ((3 · 3) · 9) = (9 · 9)
1257, 7, 44mulassi 10087 . . . . . . . 8 ((3 · 3) · 9) = (3 · (3 · 9))
126122, 124, 1253eqtr2i 2679 . . . . . . 7 (9↑2) = (3 · (3 · 9))
127126oveq2i 6701 . . . . . 6 ((5 · 7) · (9↑2)) = ((5 · 7) · (3 · (3 · 9)))
1287, 44mulcli 10083 . . . . . . . 8 (3 · 9) ∈ ℂ
12913, 7, 128mul12i 10269 . . . . . . 7 ((5 · 7) · (3 · (3 · 9))) = (3 · ((5 · 7) · (3 · 9)))
13021, 68deccl 11550 . . . . . . . . 9 24 ∈ ℕ0
131 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 24 = 24
13283, 41oveq12i 6702 . . . . . . . . . . 11 ((3 · 2) + (2 + 1)) = (6 + 3)
133 6p3e9 11208 . . . . . . . . . . 11 (6 + 3) = 9
134132, 133eqtri 2673 . . . . . . . . . 10 ((3 · 2) + (2 + 1)) = 9
13571addid2i 10262 . . . . . . . . . . 11 (0 + 4) = 4
13625, 20, 68, 87, 135decaddi 11617 . . . . . . . . . 10 ((5 · 2) + 4) = 14
13731, 22, 21, 68, 61, 131, 21, 68, 25, 134, 136decmac 11604 . . . . . . . . 9 (((5 · 7) · 2) + 24) = 94
13821, 25, 31, 70, 66decaddi 11617 . . . . . . . . . 10 ((3 · 7) + 3) = 24
1398, 31, 22, 61, 22, 31, 138, 61decmul1c 11625 . . . . . . . . 9 ((5 · 7) · 7) = 245
14038, 21, 8, 92, 22, 130, 137, 139decmul2c 11627 . . . . . . . 8 ((5 · 7) · (3 · 9)) = 945
141140oveq2i 6701 . . . . . . 7 (3 · ((5 · 7) · (3 · 9))) = (3 · 945)
142129, 141eqtri 2673 . . . . . 6 ((5 · 7) · (3 · (3 · 9))) = (3 · 945)
143 df-3 11118 . . . . . . . 8 3 = (2 + 1)
14417mulid1i 10080 . . . . . . . . 9 (2 · 1) = 2
145144oveq1i 6700 . . . . . . . 8 ((2 · 1) + 1) = (2 + 1)
146143, 145eqtr4i 2676 . . . . . . 7 3 = ((2 · 1) + 1)
147146oveq1i 6700 . . . . . 6 (3 · 945) = (((2 · 1) + 1) · 945)
148127, 142, 1473eqtri 2677 . . . . 5 ((5 · 7) · (9↑2)) = (((2 · 1) + 1) · 945)
149100, 27, 102, 25, 103, 121, 21, 41, 148log2ublem2 24719 . . . 4 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...1)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 26460)
150108, 106deccl 11550 . . . . 5 2646 ∈ ℕ0
151150, 20deccl 11550 . . . 4 26460 ∈ ℕ0
152106, 31deccl 11550 . . . 4 63 ∈ ℕ0
153 2m1e1 11173 . . . 4 (2 − 1) = 1
154 eqid 2651 . . . . 5 26460 = 26460
155 eqid 2651 . . . . 5 63 = 63
156 eqid 2651 . . . . . 6 2646 = 2646
157 eqid 2651 . . . . . . 7 264 = 264
158107, 68, 72, 157decsuc 11573 . . . . . 6 (264 + 1) = 265
159 6p6e12 11640 . . . . . 6 (6 + 6) = 12
160108, 106, 106, 156, 158, 21, 159decaddci 11618 . . . . 5 (2646 + 6) = 2652
1617addid2i 10262 . . . . 5 (0 + 3) = 3
162150, 20, 106, 31, 154, 155, 160, 161decadd 11608 . . . 4 (26460 + 63) = 26523
163 1p2e3 11190 . . . 4 (1 + 2) = 3
16446oveq2i 6701 . . . . 5 ((5 · 7) · (9↑1)) = ((5 · 7) · 9)
16511, 12, 44mulassi 10087 . . . . . 6 ((5 · 7) · 9) = (5 · (7 · 9))
166 9t7e63 11706 . . . . . . . 8 (9 · 7) = 63
16744, 12, 166mulcomli 10085 . . . . . . 7 (7 · 9) = 63
168167oveq2i 6701 . . . . . 6 (5 · (7 · 9)) = (5 · 63)
169165, 168eqtri 2673 . . . . 5 ((5 · 7) · 9) = (5 · 63)
170 df-5 11120 . . . . . . 7 5 = (4 + 1)
171 2t2e4 11215 . . . . . . . 8 (2 · 2) = 4
172171oveq1i 6700 . . . . . . 7 ((2 · 2) + 1) = (4 + 1)
173170, 172eqtr4i 2676 . . . . . 6 5 = ((2 · 2) + 1)
174173oveq1i 6700 . . . . 5 (5 · 63) = (((2 · 2) + 1) · 63)
175164, 169, 1743eqtri 2677 . . . 4 ((5 · 7) · (9↑1)) = (((2 · 2) + 1) · 63)
176149, 151, 152, 21, 153, 162, 25, 163, 175log2ublem2 24719 . . 3 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...2)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 26523)
177107, 22deccl 11550 . . . . 5 265 ∈ ℕ0
178177, 21deccl 11550 . . . 4 2652 ∈ ℕ0
179178, 31deccl 11550 . . 3 26523 ∈ ℕ0
180 3m1e2 11175 . . 3 (3 − 1) = 2
181 eqid 2651 . . . 4 26523 = 26523
182 5p3e8 11204 . . . . 5 (5 + 3) = 8
18311, 7, 182addcomli 10266 . . . 4 (3 + 5) = 8
184178, 31, 22, 181, 183decaddi 11617 . . 3 (26523 + 5) = 26528
18512, 11mulcli 10083 . . . . 5 (7 · 5) ∈ ℂ
186185mulid1i 10080 . . . 4 ((7 · 5) · 1) = (7 · 5)
18711, 12mulcomi 10084 . . . . 5 (5 · 7) = (7 · 5)
188 exp0 12904 . . . . . 6 (9 ∈ ℂ → (9↑0) = 1)
18944, 188ax-mp 5 . . . . 5 (9↑0) = 1
190187, 189oveq12i 6702 . . . 4 ((5 · 7) · (9↑0)) = ((7 · 5) · 1)
1917, 17, 83mulcomli 10085 . . . . . . 7 (2 · 3) = 6
192191oveq1i 6700 . . . . . 6 ((2 · 3) + 1) = (6 + 1)
193 df-7 11122 . . . . . 6 7 = (6 + 1)
194192, 193eqtr4i 2676 . . . . 5 ((2 · 3) + 1) = 7
195194oveq1i 6700 . . . 4 (((2 · 3) + 1) · 5) = (7 · 5)
196186, 190, 1953eqtr4i 2683 . . 3 ((5 · 7) · (9↑0)) = (((2 · 3) + 1) · 5)
197176, 179, 22, 31, 180, 184, 20, 161, 196log2ublem2 24719 . 2 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 26528)
198 eqid 2651 . . 3 26528 = 26528
199 eqid 2651 . . . 4 2652 = 2652
200 eqid 2651 . . . . 5 265 = 265
201 00id 10249 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
20220dec0h 11560 . . . . . 6 0 = 00
203201, 202eqtri 2673 . . . . 5 (0 + 0) = 00
204 eqid 2651 . . . . . 6 26 = 26
20535, 82eqtri 2673 . . . . . 6 (0 + 1) = 01
206171, 35oveq12i 6702 . . . . . . 7 ((2 · 2) + (0 + 1)) = (4 + 1)
207206, 72eqtri 2673 . . . . . 6 ((2 · 2) + (0 + 1)) = 5
208 6cn 11140 . . . . . . . 8 6 ∈ ℂ
209 6t2e12 11679 . . . . . . . 8 (6 · 2) = 12
210208, 17, 209mulcomli 10085 . . . . . . 7 (2 · 6) = 12
21125, 21, 41, 210decsuc 11573 . . . . . 6 ((2 · 6) + 1) = 13
21221, 106, 20, 25, 204, 205, 21, 31, 25, 207, 211decma2c 11606 . . . . 5 ((2 · 26) + (0 + 1)) = 53
21311, 17, 87mulcomli 10085 . . . . . . 7 (2 · 5) = 10
214213oveq1i 6700 . . . . . 6 ((2 · 5) + 0) = (10 + 0)
215 dec10p 11591 . . . . . 6 (10 + 0) = 10
216214, 215eqtri 2673 . . . . 5 ((2 · 5) + 0) = 10
217107, 22, 20, 20, 200, 203, 21, 20, 25, 212, 216decma2c 11606 . . . 4 ((2 · 265) + (0 + 0)) = 530
21822dec0h 11560 . . . . 5 5 = 05
219172, 72, 2183eqtri 2677 . . . 4 ((2 · 2) + 1) = 05
220177, 21, 20, 25, 199, 82, 21, 22, 20, 217, 219decma2c 11606 . . 3 ((2 · 2652) + 1) = 5305
221 8t2e16 11692 . . . 4 (8 · 2) = 16
22251, 17, 221mulcomli 10085 . . 3 (2 · 8) = 16
22321, 178, 42, 198, 106, 25, 220, 222decmul2c 11627 . 2 (2 · 26528) = 53056
224197, 223breqtri 4710 1 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ 53056
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1523  wcel 2030  c0 3948   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  2c2 11108  3c3 11109  4c4 11110  5c5 11111  6c6 11112  7c7 11113  8c8 11114  9c9 11115  0cn0 11330  cdc 11531  ...cfz 12364  cexp 12900  Σcsu 14460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461
This theorem is referenced by:  log2ub  24721
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