MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lo1resb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lo1resb 14515
Description: The restriction of a function to an unbounded-above interval is eventually upper bounded iff the original is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lo1resb.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
lo1resb.2 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
lo1resb.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
lo1resb (𝜑 → (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ↔ (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ∈ ≤𝑂(1)))

Proof of Theorem lo1resb
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lo1res 14510 . 2 (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) → (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ∈ ≤𝑂(1))
2 lo1resb.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
32feqmptd 6413 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)))
43reseq1d 5551 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ (𝐵[,)+∞)))
5 resmpt3 5609 . . . . 5 ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ (𝐵[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥))
64, 5syl6eq 2811 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)))
76eleq1d 2825 . . 3 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ∈ ≤𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ ≤𝑂(1)))
8 inss1 3977 . . . . . 6 (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ⊆ 𝐴
9 lo1resb.2 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
108, 9syl5ss 3756 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ⊆ ℝ)
118sseli 3741 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → 𝑥𝐴)
12 ffvelrn 6522 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
132, 11, 12syl2an 495 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1410, 13ello1mpt 14472 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑧)))
15 elin 3940 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞)))
1615imbi1i 338 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → (𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑧)) ↔ ((𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞)) → (𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑧)))
17 impexp 461 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞)) → (𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑧)) ↔ (𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑧))))
1816, 17bitri 264 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → (𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑧)) ↔ (𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑧))))
19 impexp 461 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ 𝑦𝑥) → (𝐹𝑥) ≤ 𝑧) ↔ (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑧)))
20 lo1resb.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2120ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
229adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
2322sselda 3745 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
24 elicopnf 12483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑥)))
2524baibd 986 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ 𝐵𝑥))
2621, 23, 25syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ 𝐵𝑥))
2726anbi1d 743 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ 𝑦𝑥) ↔ (𝐵𝑥𝑦𝑥)))
28 simplrl 819 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
29 maxle 12236 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 ↔ (𝐵𝑥𝑦𝑥)))
3021, 28, 23, 29syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 ↔ (𝐵𝑥𝑦𝑥)))
3127, 30bitr4d 271 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ 𝑦𝑥) ↔ if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥))
3231imbi1d 330 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ 𝑦𝑥) → (𝐹𝑥) ≤ 𝑧) ↔ (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑧)))
3319, 32syl5bbr 274 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑧)) ↔ (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑧)))
3433pm5.74da 725 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑧))) ↔ (𝑥𝐴 → (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑧))))
3518, 34syl5bb 272 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → (𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑧)) ↔ (𝑥𝐴 → (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑧))))
3635ralbidv2 3123 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑧) ↔ ∀𝑥𝐴 (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑧)))
372adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
38 simprl 811 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
3920adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
4038, 39ifcld 4276 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ∈ ℝ)
41 simprr 813 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → 𝑧 ∈ ℝ)
42 ello12r 14468 . . . . . . . 8 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑧)) → 𝐹 ∈ ≤𝑂(1))
43423expia 1115 . . . . . . 7 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (∀𝑥𝐴 (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑧) → 𝐹 ∈ ≤𝑂(1)))
4437, 22, 40, 41, 43syl22anc 1478 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (∀𝑥𝐴 (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑧) → 𝐹 ∈ ≤𝑂(1)))
4536, 44sylbid 230 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑧) → 𝐹 ∈ ≤𝑂(1)))
4645rexlimdvva 3177 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑧) → 𝐹 ∈ ≤𝑂(1)))
4714, 46sylbid 230 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ ≤𝑂(1) → 𝐹 ∈ ≤𝑂(1)))
487, 47sylbid 230 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ∈ ≤𝑂(1) → 𝐹 ∈ ≤𝑂(1)))
491, 48impbid2 216 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ↔ (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ∈ ≤𝑂(1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  wcel 2140  wral 3051  wrex 3052  cin 3715  wss 3716  ifcif 4231   class class class wbr 4805  cmpt 4882  cres 5269  wf 6046  cfv 6050  (class class class)co 6815  cr 10148  +∞cpnf 10284  cle 10288  [,)cico 12391  ≤𝑂(1)clo1 14438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-po 5188  df-so 5189  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-er 7914  df-pm 8029  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-ico 12395  df-lo1 14442
This theorem is referenced by:  lo1eq  14519
  Copyright terms: Public domain W3C validator