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Theorem lo1le 14581
Description: Transfer eventual upper boundedness from a larger function to a smaller function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lo1le.1 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
lo1le.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
lo1le.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
lo1le.4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
lo1le.5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑀𝑥)) → 𝐶𝐵)
Assertion
Ref Expression
lo1le (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ ≤𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem lo1le
Dummy variables 𝑚 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lo1le.2 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
2 simpr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
3 lo1le.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
43adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
52, 4ifcld 4275 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) ∈ ℝ)
63ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴)) → 𝑀 ∈ ℝ)
7 simplr 809 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ)
8 lo1le.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
98ralrimiva 3104 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉)
10 dmmptg 5793 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
12 lo1dm 14449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
131, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
1411, 13eqsstr3d 3781 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
1514ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
16 simprr 813 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴)) → 𝑥𝐴)
1715, 16sseldd 3745 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
18 maxle 12215 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥 ↔ (𝑀𝑥𝑦𝑥)))
196, 7, 17, 18syl3anc 1477 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴)) → (if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥 ↔ (𝑀𝑥𝑦𝑥)))
20 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀𝑥𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
2119, 20syl6bi 243 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴)) → (if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥𝑦𝑥))
2221imim1d 82 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴)) → ((𝑦𝑥𝐵𝑚) → (if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥𝐵𝑚)))
23 lo1le.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑀𝑥)) → 𝐶𝐵)
2423adantlr 753 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐴𝑀𝑥)) → 𝐶𝐵)
2524adantrll 760 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑀𝑥)) → 𝐶𝐵)
26 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝜑)
27 simplr 809 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑀𝑥) → 𝑥𝐴)
28 lo1le.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
2926, 27, 28syl2an 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑀𝑥)) → 𝐶 ∈ ℝ)
308, 1lo1mptrcl 14551 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3126, 27, 30syl2an 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑀𝑥)) → 𝐵 ∈ ℝ)
32 simprll 821 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑀𝑥)) → 𝑚 ∈ ℝ)
33 letr 10323 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝐶𝐵𝐵𝑚) → 𝐶𝑚))
3429, 31, 32, 33syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑀𝑥)) → ((𝐶𝐵𝐵𝑚) → 𝐶𝑚))
3525, 34mpand 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑀𝑥)) → (𝐵𝑚𝐶𝑚))
3635expr 644 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴)) → (𝑀𝑥 → (𝐵𝑚𝐶𝑚)))
3736adantrd 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴)) → ((𝑀𝑥𝑦𝑥) → (𝐵𝑚𝐶𝑚)))
3819, 37sylbid 230 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴)) → (if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥 → (𝐵𝑚𝐶𝑚)))
3938a2d 29 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴)) → ((if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥𝐵𝑚) → (if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥𝐶𝑚)))
4022, 39syld 47 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥𝐴)) → ((𝑦𝑥𝐵𝑚) → (if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥𝐶𝑚)))
4140anassrs 683 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑦𝑥𝐵𝑚) → (if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥𝐶𝑚)))
4241ralimdva 3100 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚) → ∀𝑥𝐴 (if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥𝐶𝑚)))
4342reximdva 3155 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚) → ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥𝐶𝑚)))
44 breq1 4807 . . . . . . . 8 (𝑧 = if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) → (𝑧𝑥 ↔ if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥))
4544imbi1d 330 . . . . . . 7 (𝑧 = if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) → ((𝑧𝑥𝐶𝑚) ↔ (if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥𝐶𝑚)))
4645rexralbidv 3196 . . . . . 6 (𝑧 = if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥𝐶𝑚) ↔ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥𝐶𝑚)))
4746rspcev 3449 . . . . 5 ((if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) ∈ ℝ ∧ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (if(𝑀𝑦, 𝑦, 𝑀) ≤ 𝑥𝐶𝑚)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥𝐶𝑚))
485, 43, 47syl6an 569 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥𝐶𝑚)))
4948rexlimdva 3169 . . 3 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥𝐶𝑚)))
5014, 30ello1mpt 14451 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥𝐵𝑚)))
5114, 28ello1mpt 14451 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥𝐶𝑚)))
5249, 50, 513imtr4d 283 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) → (𝑥𝐴𝐶) ∈ ≤𝑂(1)))
531, 52mpd 15 1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ ≤𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  wrex 3051  wss 3715  ifcif 4230   class class class wbr 4804  cmpt 4881  dom cdm 5266  cr 10127  cle 10267  ≤𝑂(1)clo1 14417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-er 7911  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-ico 12374  df-lo1 14421
This theorem is referenced by:  o1le  14582  vmalogdivsum2  25426  pntrlog2bndlem1  25465  pntrlog2bndlem5  25469
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