MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lo1bddrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lo1bddrp 14476
Description: Refine o1bdd2 14492 to give a strictly positive upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lo1bdd2.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
lo1bdd2.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
lo1bdd2.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
lo1bdd2.4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
lo1bdd2.5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑦)) → 𝑀 ∈ ℝ)
lo1bdd2.6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝐵𝑀)
Assertion
Ref Expression
lo1bddrp (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℝ+𝑥𝐴 𝐵𝑚)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐴   𝐵,𝑚,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑚,𝑀,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑚)   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem lo1bddrp
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lo1bdd2.1 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2 lo1bdd2.2 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
3 lo1bdd2.3 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4 lo1bdd2.4 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
5 lo1bdd2.5 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑦)) → 𝑀 ∈ ℝ)
6 lo1bdd2.6 . . 3 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶𝑦) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝐵𝑀)
71, 2, 3, 4, 5, 6lo1bdd2 14475 . 2 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑛)
8 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ) → 𝑛 ∈ ℝ)
98recnd 10281 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ) → 𝑛 ∈ ℂ)
109abscld 14395 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ) → (abs‘𝑛) ∈ ℝ)
119absge0d 14403 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘𝑛))
1210, 11ge0p1rpd 12116 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑛) + 1) ∈ ℝ+)
13 simplr 809 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑛 ∈ ℝ)
1410adantr 472 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘𝑛) ∈ ℝ)
15 peano2re 10422 . . . . . . . 8 ((abs‘𝑛) ∈ ℝ → ((abs‘𝑛) + 1) ∈ ℝ)
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘𝑛) + 1) ∈ ℝ)
1713leabsd 14373 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑛 ≤ (abs‘𝑛))
1814lep1d 11168 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘𝑛) ≤ ((abs‘𝑛) + 1))
1913, 14, 16, 17, 18letrd 10407 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑛 ≤ ((abs‘𝑛) + 1))
203adantlr 753 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
21 letr 10344 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝑛) + 1) ∈ ℝ) → ((𝐵𝑛𝑛 ≤ ((abs‘𝑛) + 1)) → 𝐵 ≤ ((abs‘𝑛) + 1)))
2220, 13, 16, 21syl3anc 1477 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐵𝑛𝑛 ≤ ((abs‘𝑛) + 1)) → 𝐵 ≤ ((abs‘𝑛) + 1)))
2319, 22mpan2d 712 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵𝑛𝐵 ≤ ((abs‘𝑛) + 1)))
2423ralimdva 3101 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ) → (∀𝑥𝐴 𝐵𝑛 → ∀𝑥𝐴 𝐵 ≤ ((abs‘𝑛) + 1)))
25 breq2 4809 . . . . . 6 (𝑚 = ((abs‘𝑛) + 1) → (𝐵𝑚𝐵 ≤ ((abs‘𝑛) + 1)))
2625ralbidv 3125 . . . . 5 (𝑚 = ((abs‘𝑛) + 1) → (∀𝑥𝐴 𝐵𝑚 ↔ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≤ ((abs‘𝑛) + 1)))
2726rspcev 3450 . . . 4 ((((abs‘𝑛) + 1) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≤ ((abs‘𝑛) + 1)) → ∃𝑚 ∈ ℝ+𝑥𝐴 𝐵𝑚)
2812, 24, 27syl6an 569 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ) → (∀𝑥𝐴 𝐵𝑛 → ∃𝑚 ∈ ℝ+𝑥𝐴 𝐵𝑚))
2928rexlimdva 3170 . 2 (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑛 → ∃𝑚 ∈ ℝ+𝑥𝐴 𝐵𝑚))
307, 29mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℝ+𝑥𝐴 𝐵𝑚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140  wral 3051  wrex 3052  wss 3716   class class class wbr 4805  cmpt 4882  cfv 6050  (class class class)co 6815  cr 10148  1c1 10150   + caddc 10152   < clt 10287  cle 10288  +crp 12046  abscabs 14194  ≤𝑂(1)clo1 14438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-er 7914  df-pm 8029  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-sup 8516  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-rp 12047  df-ico 12395  df-seq 13017  df-exp 13076  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sqrt 14195  df-abs 14196  df-lo1 14442
This theorem is referenced by:  o1bddrp  14493  chpo1ubb  25391  pntrlog2bnd  25494
  Copyright terms: Public domain W3C validator