Theorem lo1bdd 14459

Description: The defining property of an eventually upper bounded function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lo1bdd	⊢ ((𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐴   𝑚,𝐹,𝑥,𝑦

Proof of Theorem lo1bdd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 468	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → 𝐹 ∈ ≤𝑂(1))
2		simpr 471	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
3		fdm 6191	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝐴)
4	3	adantl 467	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → dom 𝐹 = 𝐴)
5		lo1dm 14458	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
6	5	adantr 466	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
7	4, 6	eqsstr3d 3789	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
8		ello12 14455	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚)))
9	2, 7, 8	syl2anc 573	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚)))
10	1, 9	mpbid 222	1 ⊢ ((𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ 𝑚))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3723   class class class wbr 4786  dom cdm 5249  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  ℝcr 10137   ≤ cle 10277  ≤𝑂(1)clo1 14426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-er 7896  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-ico 12386  df-lo1 14430

This theorem is referenced by:  lo1res  14498