MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lo1add Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lo1add 14576
Description: The sum of two eventually upper bounded functions is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1add2.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
o1add2.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
lo1add.3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
lo1add.4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ ≤𝑂(1))
Assertion
Ref Expression
lo1add (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ ≤𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem lo1add
Dummy variables 𝑚 𝑐 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lo1add.3 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
2 lo1add.4 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ ≤𝑂(1))
3 reeanv 3245 . . . 4 (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑚) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐶𝑛)) ↔ (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐶𝑛)))
4 o1add2.1 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
54ralrimiva 3104 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉)
6 dmmptg 5793 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
75, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
8 lo1dm 14469 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
91, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
107, 9eqsstr3d 3781 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
1110adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
12 rexanre 14305 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚𝐶𝑛)) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑚) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐶𝑛))))
1311, 12syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚𝐶𝑛)) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑚) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐶𝑛))))
14 readdcl 10231 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (𝑚 + 𝑛) ∈ ℝ)
1514adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (𝑚 + 𝑛) ∈ ℝ)
164, 1lo1mptrcl 14571 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
1716adantlr 753 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
18 o1add2.2 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
1918, 2lo1mptrcl 14571 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
2019adantlr 753 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
21 simplrl 819 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑚 ∈ ℝ)
22 simplrr 820 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑛 ∈ ℝ)
23 le2add 10722 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → ((𝐵𝑚𝐶𝑛) → (𝐵 + 𝐶) ≤ (𝑚 + 𝑛)))
2417, 20, 21, 22, 23syl22anc 1478 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐵𝑚𝐶𝑛) → (𝐵 + 𝐶) ≤ (𝑚 + 𝑛)))
2524imim2d 57 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑐𝑥 → (𝐵𝑚𝐶𝑛)) → (𝑐𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ (𝑚 + 𝑛))))
2625ralimdva 3100 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚𝐶𝑛)) → ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ (𝑚 + 𝑛))))
27 breq2 4808 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = (𝑚 + 𝑛) → ((𝐵 + 𝐶) ≤ 𝑝 ↔ (𝐵 + 𝐶) ≤ (𝑚 + 𝑛)))
2827imbi2d 329 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = (𝑚 + 𝑛) → ((𝑐𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ 𝑝) ↔ (𝑐𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ (𝑚 + 𝑛))))
2928ralbidv 3124 . . . . . . . . 9 (𝑝 = (𝑚 + 𝑛) → (∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ 𝑝) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ (𝑚 + 𝑛))))
3029rspcev 3449 . . . . . . . 8 (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ (𝑚 + 𝑛))) → ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ 𝑝))
3115, 26, 30syl6an 569 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚𝐶𝑛)) → ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ 𝑝)))
3231reximdv 3154 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚𝐶𝑛)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ 𝑝)))
3313, 32sylbird 250 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ)) → ((∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑚) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐶𝑛)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ 𝑝)))
3433rexlimdvva 3176 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑚) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐶𝑛)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ 𝑝)))
353, 34syl5bir 233 . . 3 (𝜑 → ((∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐶𝑛)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ 𝑝)))
3610, 16ello1mpt 14471 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑚)))
37 rexcom 3237 . . . . 5 (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑚) ↔ ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑚))
3836, 37syl6bb 276 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑚)))
3910, 19ello1mpt 14471 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐶𝑛)))
40 rexcom 3237 . . . . 5 (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐶𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐶𝑛))
4139, 40syl6bb 276 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐶𝑛)))
4238, 41anbi12d 749 . . 3 (𝜑 → (((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ ≤𝑂(1)) ↔ (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐶𝑛))))
4316, 19readdcld 10281 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
4410, 43ello1mpt 14471 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵 + 𝐶) ≤ 𝑝)))
4535, 42, 443imtr4d 283 . 2 (𝜑 → (((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ ≤𝑂(1)) → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ ≤𝑂(1)))
461, 2, 45mp2and 717 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ ≤𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  wrex 3051  wss 3715   class class class wbr 4804  cmpt 4881  dom cdm 5266  (class class class)co 6814  cr 10147   + caddc 10151  cle 10287  ≤𝑂(1)clo1 14437
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-er 7913  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-ico 12394  df-lo1 14441
This theorem is referenced by:  lo1sub  14580  pntrlog2bndlem4  25489  pntrlog2bndlem5  25490  pntrlog2bndlem6  25492
  Copyright terms: Public domain W3C validator