Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lnr2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnr2i 38003
Description: Given an ideal in a left-Noetherian ring, there is a finite subset which generates it. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lnr2i.u 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
lnr2i.n 𝑁 = (RSpan‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
lnr2i ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝐼𝑈) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐼 = (𝑁𝑔))
Distinct variable groups:   𝑔,𝐼   𝑔,𝑁   𝑅,𝑔   𝑈,𝑔

Proof of Theorem lnr2i
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 lnr2i.u . . . . . 6 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
3 lnr2i.n . . . . . 6 𝑁 = (RSpan‘𝑅)
41, 2, 3islnr2 38001 . . . . 5 (𝑅 ∈ LNoeR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑖𝑈𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑖 = (𝑁𝑔)))
54simprbi 479 . . . 4 (𝑅 ∈ LNoeR → ∀𝑖𝑈𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑖 = (𝑁𝑔))
6 eqeq1 2655 . . . . . 6 (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 = (𝑁𝑔) ↔ 𝐼 = (𝑁𝑔)))
76rexbidv 3081 . . . . 5 (𝑖 = 𝐼 → (∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑖 = (𝑁𝑔) ↔ ∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝐼 = (𝑁𝑔)))
87rspcva 3338 . . . 4 ((𝐼𝑈 ∧ ∀𝑖𝑈𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑖 = (𝑁𝑔)) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝐼 = (𝑁𝑔))
95, 8sylan2 490 . . 3 ((𝐼𝑈𝑅 ∈ LNoeR) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝐼 = (𝑁𝑔))
109ancoms 468 . 2 ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝐼𝑈) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝐼 = (𝑁𝑔))
11 lnrring 37999 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ LNoeR → 𝑅 ∈ Ring)
123, 1rspssid 19271 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑔 ⊆ (Base‘𝑅)) → 𝑔 ⊆ (𝑁𝑔))
1311, 12sylan 487 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝑔 ⊆ (Base‘𝑅)) → 𝑔 ⊆ (𝑁𝑔))
1413ex 449 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ LNoeR → (𝑔 ⊆ (Base‘𝑅) → 𝑔 ⊆ (𝑁𝑔)))
15 vex 3234 . . . . . . . . . . 11 𝑔 ∈ V
1615elpw 4197 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ 𝒫 (Base‘𝑅) ↔ 𝑔 ⊆ (Base‘𝑅))
1715elpw 4197 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑁𝑔) ↔ 𝑔 ⊆ (𝑁𝑔))
1814, 16, 173imtr4g 285 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ LNoeR → (𝑔 ∈ 𝒫 (Base‘𝑅) → 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑁𝑔)))
1918anim1d 587 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ LNoeR → ((𝑔 ∈ 𝒫 (Base‘𝑅) ∧ 𝑔 ∈ Fin) → (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑁𝑔) ∧ 𝑔 ∈ Fin)))
20 elin 3829 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) ↔ (𝑔 ∈ 𝒫 (Base‘𝑅) ∧ 𝑔 ∈ Fin))
21 elin 3829 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ (𝒫 (𝑁𝑔) ∩ Fin) ↔ (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑁𝑔) ∧ 𝑔 ∈ Fin))
2219, 20, 213imtr4g 285 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ LNoeR → (𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) → 𝑔 ∈ (𝒫 (𝑁𝑔) ∩ Fin)))
23 pweq 4194 . . . . . . . . . 10 (𝐼 = (𝑁𝑔) → 𝒫 𝐼 = 𝒫 (𝑁𝑔))
2423ineq1d 3846 . . . . . . . . 9 (𝐼 = (𝑁𝑔) → (𝒫 𝐼 ∩ Fin) = (𝒫 (𝑁𝑔) ∩ Fin))
2524eleq2d 2716 . . . . . . . 8 (𝐼 = (𝑁𝑔) → (𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ↔ 𝑔 ∈ (𝒫 (𝑁𝑔) ∩ Fin)))
2625imbi2d 329 . . . . . . 7 (𝐼 = (𝑁𝑔) → ((𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) → 𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) ↔ (𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) → 𝑔 ∈ (𝒫 (𝑁𝑔) ∩ Fin))))
2722, 26syl5ibrcom 237 . . . . . 6 (𝑅 ∈ LNoeR → (𝐼 = (𝑁𝑔) → (𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) → 𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))))
2827imdistand 728 . . . . 5 (𝑅 ∈ LNoeR → ((𝐼 = (𝑁𝑔) ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)) → (𝐼 = (𝑁𝑔) ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))))
29 ancom 465 . . . . 5 ((𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) ∧ 𝐼 = (𝑁𝑔)) ↔ (𝐼 = (𝑁𝑔) ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)))
30 ancom 465 . . . . 5 ((𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ∧ 𝐼 = (𝑁𝑔)) ↔ (𝐼 = (𝑁𝑔) ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)))
3128, 29, 303imtr4g 285 . . . 4 (𝑅 ∈ LNoeR → ((𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) ∧ 𝐼 = (𝑁𝑔)) → (𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin) ∧ 𝐼 = (𝑁𝑔))))
3231reximdv2 3043 . . 3 (𝑅 ∈ LNoeR → (∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝐼 = (𝑁𝑔) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐼 = (𝑁𝑔)))
3332adantr 480 . 2 ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝐼𝑈) → (∃𝑔 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝐼 = (𝑁𝑔) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐼 = (𝑁𝑔)))
3410, 33mpd 15 1 ((𝑅 ∈ LNoeR ∧ 𝐼𝑈) → ∃𝑔 ∈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)𝐼 = (𝑁𝑔))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  cin 3606  wss 3607  𝒫 cpw 4191  cfv 5926  Fincfn 7997  Basecbs 15904  Ringcrg 18593  LIdealclidl 19218  RSpancrsp 19219  LNoeRclnr 37996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-subg 17638  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-subrg 18826  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-lidl 19222  df-rsp 19223  df-lfig 37955  df-lnm 37963  df-lnr 37997
This theorem is referenced by:  hbtlem6  38016
  Copyright terms: Public domain W3C validator