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Theorem lnopunilem1 28997
Description: Lemma for lnopunii 28999. (Contributed by NM, 14-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnopunilem.1 𝑇 ∈ LinOp
lnopunilem.2 𝑥 ∈ ℋ (norm‘(𝑇𝑥)) = (norm𝑥)
lnopunilem.3 𝐴 ∈ ℋ
lnopunilem.4 𝐵 ∈ ℋ
lnopunilem1.5 𝐶 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
lnopunilem1 (ℜ‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = (ℜ‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑇
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem lnopunilem1
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopunilem1.5 . . . 4 𝐶 ∈ ℂ
2 lnopunilem.3 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℋ
3 lnopunilem.1 . . . . . . . 8 𝑇 ∈ LinOp
43lnopfi 28956 . . . . . . 7 𝑇: ℋ⟶ ℋ
54ffvelrni 6398 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇𝐴) ∈ ℋ)
62, 5ax-mp 5 . . . . 5 (𝑇𝐴) ∈ ℋ
7 lnopunilem.4 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℋ
84ffvelrni 6398 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℋ → (𝑇𝐵) ∈ ℋ)
97, 8ax-mp 5 . . . . 5 (𝑇𝐵) ∈ ℋ
106, 9hicli 28066 . . . 4 ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)) ∈ ℂ
111, 10mulcli 10083 . . 3 (𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) ∈ ℂ
12 reval 13890 . . 3 ((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) ∈ ℂ → (ℜ‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = (((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) + (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))) / 2))
1311, 12ax-mp 5 . 2 (ℜ‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = (((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) + (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))) / 2)
142, 7hicli 28066 . . . . 5 (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ
151, 14mulcli 10083 . . . 4 (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ
16 reval 13890 . . . 4 ((𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ → (ℜ‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) = (((𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)))) / 2))
1715, 16ax-mp 5 . . 3 (ℜ‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) = (((𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)))) / 2)
18 lnopunilem.2 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ∈ ℋ (norm‘(𝑇𝑥)) = (norm𝑥)
19 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑦 → (𝑇𝑥) = (𝑇𝑦))
2019fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑦 → (norm‘(𝑇𝑥)) = (norm‘(𝑇𝑦)))
21 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑦 → (norm𝑥) = (norm𝑦))
2220, 21eqeq12d 2666 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦 → ((norm‘(𝑇𝑥)) = (norm𝑥) ↔ (norm‘(𝑇𝑦)) = (norm𝑦)))
2322cbvralv 3201 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥 ∈ ℋ (norm‘(𝑇𝑥)) = (norm𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ (norm‘(𝑇𝑦)) = (norm𝑦))
2418, 23mpbi 220 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ ℋ (norm‘(𝑇𝑦)) = (norm𝑦)
25 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . 14 ((norm‘(𝑇𝑦)) = (norm𝑦) → ((norm‘(𝑇𝑦))↑2) = ((norm𝑦)↑2))
264ffvelrni 6398 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℋ → (𝑇𝑦) ∈ ℋ)
27 normsq 28119 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑇𝑦) ∈ ℋ → ((norm‘(𝑇𝑦))↑2) = ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℋ → ((norm‘(𝑇𝑦))↑2) = ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)))
29 normsq 28119 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℋ → ((norm𝑦)↑2) = (𝑦 ·ih 𝑦))
3028, 29eqeq12d 2666 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℋ → (((norm‘(𝑇𝑦))↑2) = ((norm𝑦)↑2) ↔ ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑦 ·ih 𝑦)))
3125, 30syl5ib 234 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℋ → ((norm‘(𝑇𝑦)) = (norm𝑦) → ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑦 ·ih 𝑦)))
3231ralimia 2979 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑦 ∈ ℋ (norm‘(𝑇𝑦)) = (norm𝑦) → ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑦 ·ih 𝑦))
3324, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑦 ·ih 𝑦)
34 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝐴 → (𝑇𝑦) = (𝑇𝐴))
3534, 34oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))
36 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝐴𝑦 = 𝐴)
3736, 36oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ·ih 𝑦) = (𝐴 ·ih 𝐴))
3835, 37eqeq12d 2666 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐴 → (((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑦 ·ih 𝑦) ↔ ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)) = (𝐴 ·ih 𝐴)))
3938rspcv 3336 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℋ → (∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑦 ·ih 𝑦) → ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)) = (𝐴 ·ih 𝐴)))
402, 33, 39mp2 9 . . . . . . . . . 10 ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)) = (𝐴 ·ih 𝐴)
4140oveq2i 6701 . . . . . . . . 9 ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴))) = ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))
4241oveq2i 6701 . . . . . . . 8 (𝐶 · ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))) = (𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴)))
43 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐵 → (𝑇𝑦) = (𝑇𝐵))
4443, 43oveq12d 6708 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐵 → ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵)))
45 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐵𝑦 = 𝐵)
4645, 45oveq12d 6708 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 ·ih 𝑦) = (𝐵 ·ih 𝐵))
4744, 46eqeq12d 2666 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐵 → (((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑦 ·ih 𝑦) ↔ ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵)) = (𝐵 ·ih 𝐵)))
4847rspcv 3336 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℋ → (∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑦 ·ih 𝑦) → ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵)) = (𝐵 ·ih 𝐵)))
497, 33, 48mp2 9 . . . . . . . 8 ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵)) = (𝐵 ·ih 𝐵)
5042, 49oveq12i 6702 . . . . . . 7 ((𝐶 · ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))) + ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵))) = ((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐵 ·ih 𝐵))
5150oveq1i 6700 . . . . . 6 (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))) + ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵))) + ((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) + (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))))) = (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + ((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) + (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))))
521cjcli 13953 . . . . . . . . . 10 (∗‘𝐶) ∈ ℂ
536, 6hicli 28066 . . . . . . . . . 10 ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)) ∈ ℂ
5452, 53mulcli 10083 . . . . . . . . 9 ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴))) ∈ ℂ
551, 54mulcli 10083 . . . . . . . 8 (𝐶 · ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))) ∈ ℂ
569, 9hicli 28066 . . . . . . . 8 ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵)) ∈ ℂ
5711cjcli 13953 . . . . . . . 8 (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) ∈ ℂ
5855, 56, 11, 57add42i 10299 . . . . . . 7 (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))) + ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵))) + ((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) + (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))))) = (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))) + (𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) + ((∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) + ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵))))
592, 2hicli 28066 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℂ
6052, 59mulcli 10083 . . . . . . . . . 10 ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴)) ∈ ℂ
611, 60mulcli 10083 . . . . . . . . 9 (𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) ∈ ℂ
627, 7hicli 28066 . . . . . . . . 9 (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℂ
6315cjcli 13953 . . . . . . . . 9 (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) ∈ ℂ
6461, 62, 15, 63add42i 10299 . . . . . . . 8 (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + ((𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))))) = (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) + ((∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) + (𝐵 ·ih 𝐵)))
651, 2hvmulcli 27999 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 · 𝐴) ∈ ℋ
6665, 7hvaddcli 28003 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℋ
67 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) → (𝑇𝑦) = (𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)))
6867, 67oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) → ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = ((𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) ·ih (𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))))
69 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) → 𝑦 = ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))
7069, 69oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) → (𝑦 ·ih 𝑦) = (((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)))
7168, 70eqeq12d 2666 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) → (((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑦 ·ih 𝑦) ↔ ((𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) ·ih (𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))) = (((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))))
7271rspcv 3336 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℋ → (∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑦 ·ih 𝑦) → ((𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) ·ih (𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))) = (((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))))
7366, 33, 72mp2 9 . . . . . . . . . 10 ((𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) ·ih (𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))) = (((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))
74 ax-his2 28068 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶 · 𝐴) ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℋ) → (((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) = (((𝐶 · 𝐴) ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) + (𝐵 ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))))
7565, 7, 66, 74mp3an 1464 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) = (((𝐶 · 𝐴) ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) + (𝐵 ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)))
76 ax-his3 28069 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℋ) → ((𝐶 · 𝐴) ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) = (𝐶 · (𝐴 ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))))
771, 2, 66, 76mp3an 1464 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 · 𝐴) ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) = (𝐶 · (𝐴 ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)))
78 his7 28075 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (𝐶 · 𝐴) ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) = ((𝐴 ·ih (𝐶 · 𝐴)) + (𝐴 ·ih 𝐵)))
792, 65, 7, 78mp3an 1464 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) = ((𝐴 ·ih (𝐶 · 𝐴)) + (𝐴 ·ih 𝐵))
80 his5 28071 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝐶 · 𝐴)) = ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴)))
811, 2, 2, 80mp3an 1464 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ·ih (𝐶 · 𝐴)) = ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))
8281oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ·ih (𝐶 · 𝐴)) + (𝐴 ·ih 𝐵)) = (((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴)) + (𝐴 ·ih 𝐵))
8379, 82eqtri 2673 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) = (((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴)) + (𝐴 ·ih 𝐵))
8483oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 · (𝐴 ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))) = (𝐶 · (((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴)) + (𝐴 ·ih 𝐵)))
851, 60, 14adddii 10088 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 · (((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴)) + (𝐴 ·ih 𝐵))) = ((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)))
8677, 84, 853eqtri 2677 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 · 𝐴) ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) = ((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)))
87 his7 28075 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝐶 · 𝐴) ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) = ((𝐵 ·ih (𝐶 · 𝐴)) + (𝐵 ·ih 𝐵)))
887, 65, 7, 87mp3an 1464 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) = ((𝐵 ·ih (𝐶 · 𝐴)) + (𝐵 ·ih 𝐵))
89 his5 28071 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih (𝐶 · 𝐴)) = ((∗‘𝐶) · (𝐵 ·ih 𝐴)))
901, 7, 2, 89mp3an 1464 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ·ih (𝐶 · 𝐴)) = ((∗‘𝐶) · (𝐵 ·ih 𝐴))
911, 14cjmuli 13973 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) = ((∗‘𝐶) · (∗‘(𝐴 ·ih 𝐵)))
927, 2his1i 28085 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ·ih 𝐴) = (∗‘(𝐴 ·ih 𝐵))
9392oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∗‘𝐶) · (𝐵 ·ih 𝐴)) = ((∗‘𝐶) · (∗‘(𝐴 ·ih 𝐵)))
9491, 93eqtr4i 2676 . . . . . . . . . . . . . 14 (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) = ((∗‘𝐶) · (𝐵 ·ih 𝐴))
9590, 94eqtr4i 2676 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ·ih (𝐶 · 𝐴)) = (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)))
9695oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ·ih (𝐶 · 𝐴)) + (𝐵 ·ih 𝐵)) = ((∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) + (𝐵 ·ih 𝐵))
9788, 96eqtri 2673 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) = ((∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) + (𝐵 ·ih 𝐵))
9886, 97oveq12i 6702 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 · 𝐴) ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) + (𝐵 ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))) = (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) + ((∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) + (𝐵 ·ih 𝐵)))
9973, 75, 983eqtrri 2678 . . . . . . . . 9 (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) + ((∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) + (𝐵 ·ih 𝐵))) = ((𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) ·ih (𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)))
1003lnopli 28955 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) = ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)))
1011, 2, 7, 100mp3an 1464 . . . . . . . . . . 11 (𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) = ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))
102101, 101oveq12i 6702 . . . . . . . . . 10 ((𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) ·ih (𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))) = (((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)))
1031, 6hvmulcli 27999 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 · (𝑇𝐴)) ∈ ℋ
104103, 9hvaddcli 28003 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)) ∈ ℋ
105 ax-his2 28068 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶 · (𝑇𝐴)) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝐵) ∈ ℋ ∧ ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)) ∈ ℋ) → (((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) = (((𝐶 · (𝑇𝐴)) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) + ((𝑇𝐵) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)))))
106103, 9, 104, 105mp3an 1464 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) = (((𝐶 · (𝑇𝐴)) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) + ((𝑇𝐵) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))))
107102, 106eqtri 2673 . . . . . . . . 9 ((𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) ·ih (𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))) = (((𝐶 · (𝑇𝐴)) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) + ((𝑇𝐵) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))))
108 ax-his3 28069 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝐴) ∈ ℋ ∧ ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)) ∈ ℋ) → ((𝐶 · (𝑇𝐴)) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) = (𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)))))
1091, 6, 104, 108mp3an 1464 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 · (𝑇𝐴)) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) = (𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))))
110 his7 28075 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑇𝐴) ∈ ℋ ∧ (𝐶 · (𝑇𝐴)) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝐵) ∈ ℋ) → ((𝑇𝐴) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) = (((𝑇𝐴) ·ih (𝐶 · (𝑇𝐴))) + ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))
1116, 103, 9, 110mp3an 1464 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇𝐴) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) = (((𝑇𝐴) ·ih (𝐶 · (𝑇𝐴))) + ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))
112 his5 28071 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝐴) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝐴) ∈ ℋ) → ((𝑇𝐴) ·ih (𝐶 · (𝑇𝐴))) = ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴))))
1131, 6, 6, 112mp3an 1464 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇𝐴) ·ih (𝐶 · (𝑇𝐴))) = ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))
114113oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇𝐴) ·ih (𝐶 · (𝑇𝐴))) + ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) = (((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴))) + ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))
115111, 114eqtri 2673 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇𝐴) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) = (((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴))) + ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))
116115oveq2i 6701 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)))) = (𝐶 · (((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴))) + ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))
1171, 54, 10adddii 10088 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 · (((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴))) + ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = ((𝐶 · ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))) + (𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))
118109, 116, 1173eqtri 2677 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 · (𝑇𝐴)) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) = ((𝐶 · ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))) + (𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))
119 his7 28075 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐶 · (𝑇𝐴)) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝐵) ∈ ℋ) → ((𝑇𝐵) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) = (((𝑇𝐵) ·ih (𝐶 · (𝑇𝐴))) + ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵))))
1209, 103, 9, 119mp3an 1464 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇𝐵) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) = (((𝑇𝐵) ·ih (𝐶 · (𝑇𝐴))) + ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵)))
121 his5 28071 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝐴) ∈ ℋ) → ((𝑇𝐵) ·ih (𝐶 · (𝑇𝐴))) = ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐴))))
1221, 9, 6, 121mp3an 1464 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇𝐵) ·ih (𝐶 · (𝑇𝐴))) = ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐴)))
1231, 10cjmuli 13973 . . . . . . . . . . . . . 14 (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = ((∗‘𝐶) · (∗‘((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))
1249, 6his1i 28085 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐴)) = (∗‘((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))
125124oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐴))) = ((∗‘𝐶) · (∗‘((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))
126123, 125eqtr4i 2676 . . . . . . . . . . . . 13 (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐴)))
127122, 126eqtr4i 2676 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇𝐵) ·ih (𝐶 · (𝑇𝐴))) = (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))
128127oveq1i 6700 . . . . . . . . . . 11 (((𝑇𝐵) ·ih (𝐶 · (𝑇𝐴))) + ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵))) = ((∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) + ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵)))
129120, 128eqtri 2673 . . . . . . . . . 10 ((𝑇𝐵) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) = ((∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) + ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵)))
130118, 129oveq12i 6702 . . . . . . . . 9 (((𝐶 · (𝑇𝐴)) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) + ((𝑇𝐵) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)))) = (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))) + (𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) + ((∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) + ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵))))
13199, 107, 1303eqtrri 2678 . . . . . . . 8 (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))) + (𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) + ((∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) + ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵)))) = (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) + ((∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) + (𝐵 ·ih 𝐵)))
13264, 131eqtr4i 2676 . . . . . . 7 (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + ((𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))))) = (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))) + (𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) + ((∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) + ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵))))
13358, 132eqtr4i 2676 . . . . . 6 (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))) + ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵))) + ((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) + (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))))) = (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + ((𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)))))
13451, 133eqtr3i 2675 . . . . 5 (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + ((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) + (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))))) = (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + ((𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)))))
13561, 62addcli 10082 . . . . . 6 ((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ
13611, 57addcli 10082 . . . . . 6 ((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) + (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))) ∈ ℂ
13715, 63addcli 10082 . . . . . 6 ((𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)))) ∈ ℂ
138135, 136, 137addcani 10267 . . . . 5 ((((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + ((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) + (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))))) = (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + ((𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))))) ↔ ((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) + (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))) = ((𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)))))
139134, 138mpbi 220 . . . 4 ((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) + (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))) = ((𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))))
140139oveq1i 6700 . . 3 (((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) + (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))) / 2) = (((𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)))) / 2)
14117, 140eqtr4i 2676 . 2 (ℜ‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) = (((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) + (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))) / 2)
14213, 141eqtr4i 2676 1 (ℜ‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = (ℜ‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972   + caddc 9977   · cmul 9979   / cdiv 10722  2c2 11108  cexp 12900  ccj 13880  cre 13881  chil 27904   + cva 27905   · csm 27906   ·ih csp 27907  normcno 27908  LinOpclo 27932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-hilex 27984  ax-hfvadd 27985  ax-hv0cl 27988  ax-hfvmul 27990  ax-hvmul0 27995  ax-hfi 28064  ax-his1 28067  ax-his2 28068  ax-his3 28069  ax-his4 28070
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-hnorm 27953  df-lnop 28828
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