Theorem lnopunii 29201

Description: If a linear operator (whose range is ℋ) is idempotent in the norm, the operator is unitary. Similar to theorem in [AkhiezerGlazman] p. 73. (Contributed by NM, 23-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnopuni.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp
lnopuni.2	⊢ 𝑇: ℋ–onto→ ℋ
lnopuni.3	⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) = (normℎ‘𝑥)

Assertion

Ref	Expression
lnopunii	⊢ 𝑇 ∈ UniOp

Distinct variable group:   𝑥,𝑇

Proof of Theorem lnopunii

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnopuni.2	. 2 ⊢ 𝑇: ℋ–onto→ ℋ
2		fveq2 6353	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) → (𝑇‘𝑥) = (𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ)))
3	2	oveq1d 6829	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ)) ·ih (𝑇‘𝑦)))
4		oveq1 6821	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) → (𝑥 ·ih 𝑦) = (if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) ·ih 𝑦))
5	3, 4	eqeq12d 2775	. . . 4 ⊢ (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) → (((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦) ↔ ((𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ)) ·ih (𝑇‘𝑦)) = (if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) ·ih 𝑦)))
6		fveq2 6353	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) → (𝑇‘𝑦) = (𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ)))
7	6	oveq2d 6830	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) → ((𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ)) ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ)) ·ih (𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ))))
8		oveq2 6822	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) → (if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) ·ih 𝑦) = (if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) ·ih if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ)))
9	7, 8	eqeq12d 2775	. . . 4 ⊢ (𝑦 = if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) → (((𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ)) ·ih (𝑇‘𝑦)) = (if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) ·ih 𝑦) ↔ ((𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ)) ·ih (𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ))) = (if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) ·ih if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ))))
10		lnopuni.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
11		lnopuni.3	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) = (normℎ‘𝑥)
12		ifhvhv0 28209	. . . . 5 ⊢ if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) ∈ ℋ
13		ifhvhv0 28209	. . . . 5 ⊢ if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ) ∈ ℋ
14	10, 11, 12, 13	lnopunilem2 29200	. . . 4 ⊢ ((𝑇‘if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ)) ·ih (𝑇‘if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ))) = (if(𝑥 ∈ ℋ, 𝑥, 0ℎ) ·ih if(𝑦 ∈ ℋ, 𝑦, 0ℎ))
15	5, 9, 14	dedth2h 4284	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
16	15	rgen2a 3115	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦)
17		elunop 29061	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ UniOp ↔ (𝑇: ℋ–onto→ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦)))
18	1, 16, 17	mpbir2an 993	1 ⊢ 𝑇 ∈ UniOp

Syntax hints:   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050  ifcif 4230  –onto→wfo 6047  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814   ℋchil 28106   ·_ih csp 28109  norm_ℎcno 28110  0_ℎc0v 28111  LinOpclo 28134  UniOpcuo 28136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-hilex 28186  ax-hfvadd 28187  ax-hv0cl 28190  ax-hfvmul 28192  ax-hvmul0 28197  ax-hfi 28266  ax-his1 28269  ax-his2 28270  ax-his3 28271  ax-his4 28272

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-sup 8515  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-seq 13016  df-exp 13075  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-hnorm 28155  df-lnop 29030  df-unop 29032

This theorem is referenced by:  elunop2  29202