Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnophsi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnophsi 29190
 Description: The sum of two linear operators is linear. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnopco.1 𝑆 ∈ LinOp
lnopco.2 𝑇 ∈ LinOp
Assertion
Ref Expression
lnophsi (𝑆 +op 𝑇) ∈ LinOp

Proof of Theorem lnophsi
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopco.1 . . . 4 𝑆 ∈ LinOp
21lnopfi 29158 . . 3 𝑆: ℋ⟶ ℋ
3 lnopco.2 . . . 4 𝑇 ∈ LinOp
43lnopfi 29158 . . 3 𝑇: ℋ⟶ ℋ
52, 4hoaddcli 28957 . 2 (𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
6 hvmulcl 28200 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ)
71lnopaddi 29160 . . . . . . . 8 (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑆‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑆‘(𝑥 · 𝑦)) + (𝑆𝑧)))
83lnopaddi 29160 . . . . . . . 8 (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑇‘(𝑥 · 𝑦)) + (𝑇𝑧)))
97, 8oveq12d 6832 . . . . . . 7 (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑆‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) + (𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧))) = (((𝑆‘(𝑥 · 𝑦)) + (𝑆𝑧)) + ((𝑇‘(𝑥 · 𝑦)) + (𝑇𝑧))))
106, 9sylan 489 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑆‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) + (𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧))) = (((𝑆‘(𝑥 · 𝑦)) + (𝑆𝑧)) + ((𝑇‘(𝑥 · 𝑦)) + (𝑇𝑧))))
112ffvelrni 6522 . . . . . . . . 9 ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ → (𝑆‘(𝑥 · 𝑦)) ∈ ℋ)
126, 11syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑆‘(𝑥 · 𝑦)) ∈ ℋ)
132ffvelrni 6522 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℋ → (𝑆𝑧) ∈ ℋ)
1412, 13anim12i 591 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑆‘(𝑥 · 𝑦)) ∈ ℋ ∧ (𝑆𝑧) ∈ ℋ))
154ffvelrni 6522 . . . . . . . . 9 ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ → (𝑇‘(𝑥 · 𝑦)) ∈ ℋ)
166, 15syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝑥 · 𝑦)) ∈ ℋ)
174ffvelrni 6522 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℋ → (𝑇𝑧) ∈ ℋ)
1816, 17anim12i 591 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑇‘(𝑥 · 𝑦)) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑧) ∈ ℋ))
19 hvadd4 28223 . . . . . . 7 ((((𝑆‘(𝑥 · 𝑦)) ∈ ℋ ∧ (𝑆𝑧) ∈ ℋ) ∧ ((𝑇‘(𝑥 · 𝑦)) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑧) ∈ ℋ)) → (((𝑆‘(𝑥 · 𝑦)) + (𝑆𝑧)) + ((𝑇‘(𝑥 · 𝑦)) + (𝑇𝑧))) = (((𝑆‘(𝑥 · 𝑦)) + (𝑇‘(𝑥 · 𝑦))) + ((𝑆𝑧) + (𝑇𝑧))))
2014, 18, 19syl2anc 696 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (((𝑆‘(𝑥 · 𝑦)) + (𝑆𝑧)) + ((𝑇‘(𝑥 · 𝑦)) + (𝑇𝑧))) = (((𝑆‘(𝑥 · 𝑦)) + (𝑇‘(𝑥 · 𝑦))) + ((𝑆𝑧) + (𝑇𝑧))))
2110, 20eqtrd 2794 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑆‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) + (𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧))) = (((𝑆‘(𝑥 · 𝑦)) + (𝑇‘(𝑥 · 𝑦))) + ((𝑆𝑧) + (𝑇𝑧))))
22 hvaddcl 28199 . . . . . . 7 (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ∈ ℋ)
236, 22sylan 489 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ∈ ℋ)
24 hosval 28929 . . . . . . 7 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ∈ ℋ) → ((𝑆 +op 𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑆‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) + (𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧))))
252, 4, 24mp3an12 1563 . . . . . 6 (((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ∈ ℋ → ((𝑆 +op 𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑆‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) + (𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧))))
2623, 25syl 17 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑆 +op 𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑆‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) + (𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧))))
272ffvelrni 6522 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℋ → (𝑆𝑦) ∈ ℋ)
284ffvelrni 6522 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℋ → (𝑇𝑦) ∈ ℋ)
2927, 28jca 555 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℋ → ((𝑆𝑦) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ))
30 ax-hvdistr1 28195 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑆𝑦) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ) → (𝑥 · ((𝑆𝑦) + (𝑇𝑦))) = ((𝑥 · (𝑆𝑦)) + (𝑥 · (𝑇𝑦))))
31303expb 1114 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑆𝑦) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ)) → (𝑥 · ((𝑆𝑦) + (𝑇𝑦))) = ((𝑥 · (𝑆𝑦)) + (𝑥 · (𝑇𝑦))))
3229, 31sylan2 492 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 · ((𝑆𝑦) + (𝑇𝑦))) = ((𝑥 · (𝑆𝑦)) + (𝑥 · (𝑇𝑦))))
33 hosval 28929 . . . . . . . . . 10 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑦) = ((𝑆𝑦) + (𝑇𝑦)))
342, 4, 33mp3an12 1563 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℋ → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑦) = ((𝑆𝑦) + (𝑇𝑦)))
3534oveq2d 6830 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℋ → (𝑥 · ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑦)) = (𝑥 · ((𝑆𝑦) + (𝑇𝑦))))
3635adantl 473 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 · ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑦)) = (𝑥 · ((𝑆𝑦) + (𝑇𝑦))))
371lnopmuli 29161 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑆‘(𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 · (𝑆𝑦)))
383lnopmuli 29161 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 · (𝑇𝑦)))
3937, 38oveq12d 6832 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑆‘(𝑥 · 𝑦)) + (𝑇‘(𝑥 · 𝑦))) = ((𝑥 · (𝑆𝑦)) + (𝑥 · (𝑇𝑦))))
4032, 36, 393eqtr4d 2804 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 · ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑦)) = ((𝑆‘(𝑥 · 𝑦)) + (𝑇‘(𝑥 · 𝑦))))
41 hosval 28929 . . . . . . 7 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑧) = ((𝑆𝑧) + (𝑇𝑧)))
422, 4, 41mp3an12 1563 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℋ → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑧) = ((𝑆𝑧) + (𝑇𝑧)))
4340, 42oveqan12d 6833 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑦)) + ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑧)) = (((𝑆‘(𝑥 · 𝑦)) + (𝑇‘(𝑥 · 𝑦))) + ((𝑆𝑧) + (𝑇𝑧))))
4421, 26, 433eqtr4d 2804 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑆 +op 𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑦)) + ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑧)))
4544ralrimiva 3104 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ∀𝑧 ∈ ℋ ((𝑆 +op 𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑦)) + ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑧)))
4645rgen2 3113 . 2 𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((𝑆 +op 𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑦)) + ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑧))
47 ellnop 29047 . 2 ((𝑆 +op 𝑇) ∈ LinOp ↔ ((𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((𝑆 +op 𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑦)) + ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑧))))
485, 46, 47mpbir2an 993 1 (𝑆 +op 𝑇) ∈ LinOp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  ℂcc 10146   ℋchil 28106   +ℎ cva 28107   ·ℎ csm 28108   +op chos 28125  LinOpclo 28134 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-hilex 28186  ax-hfvadd 28187  ax-hvcom 28188  ax-hvass 28189  ax-hv0cl 28190  ax-hvaddid 28191  ax-hfvmul 28192  ax-hvmulid 28193  ax-hvdistr1 28195  ax-hvdistr2 28196  ax-hvmul0 28197 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-ltxr 10291  df-sub 10480  df-neg 10481  df-hvsub 28158  df-hosum 28919  df-lnop 29030 This theorem is referenced by:  lnophdi  29191  bdophsi  29285
 Copyright terms: Public domain W3C validator