HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopeq0lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnopeq0lem1 29205
Description: Lemma for lnopeq0i 29207. Apply the generalized polarization identity polid2i 28355 to the quadratic form ((𝑇𝑥), 𝑥). (Contributed by NM, 26-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnopeq0.1 𝑇 ∈ LinOp
lnopeq0lem1.2 𝐴 ∈ ℋ
lnopeq0lem1.3 𝐵 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
lnopeq0lem1 ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵) = (((((𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵)))))) / 4)

Proof of Theorem lnopeq0lem1
StepHypRef Expression
1 lnopeq0lem1.2 . . . 4 𝐴 ∈ ℋ
2 lnopeq0.1 . . . . . 6 𝑇 ∈ LinOp
32lnopfi 29169 . . . . 5 𝑇: ℋ⟶ ℋ
43ffvelrni 6500 . . . 4 (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇𝐴) ∈ ℋ)
51, 4ax-mp 5 . . 3 (𝑇𝐴) ∈ ℋ
6 lnopeq0lem1.3 . . 3 𝐵 ∈ ℋ
73ffvelrni 6500 . . . 4 (𝐵 ∈ ℋ → (𝑇𝐵) ∈ ℋ)
86, 7ax-mp 5 . . 3 (𝑇𝐵) ∈ ℋ
95, 6, 8, 1polid2i 28355 . 2 ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵) = ((((((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵)) − (((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵))) + (i · ((((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − (((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵)))))) / 4)
102lnopaddi 29171 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) = ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵)))
111, 6, 10mp2an 707 . . . . . 6 (𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) = ((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵))
1211oveq1i 6801 . . . . 5 ((𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵)) = (((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵))
132lnopsubi 29174 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 𝐵)) = ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)))
141, 6, 13mp2an 707 . . . . . 6 (𝑇‘(𝐴 𝐵)) = ((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵))
1514oveq1i 6801 . . . . 5 ((𝑇‘(𝐴 𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵)) = (((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵))
1612, 15oveq12i 6803 . . . 4 (((𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵))) = ((((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵)) − (((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵)))
17 ax-icn 10195 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
182lnopaddmuli 29173 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵))))
1917, 1, 6, 18mp3an 1570 . . . . . . 7 (𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = ((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵)))
2019oveq1i 6801 . . . . . 6 ((𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) = (((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵)))
212lnopsubmuli 29175 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) = ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))))
2217, 1, 6, 21mp3an 1570 . . . . . . 7 (𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) = ((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵)))
2322oveq1i 6801 . . . . . 6 ((𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵))) = (((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵)))
2420, 23oveq12i 6803 . . . . 5 (((𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵)))) = ((((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − (((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵))))
2524oveq2i 6802 . . . 4 (i · (((𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵))))) = (i · ((((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − (((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵)))))
2616, 25oveq12i 6803 . . 3 ((((𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵)))))) = (((((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵)) − (((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵))) + (i · ((((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − (((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵))))))
2726oveq1i 6801 . 2 (((((𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵)))))) / 4) = ((((((𝑇𝐴) + (𝑇𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵)) − (((𝑇𝐴) − (𝑇𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵))) + (i · ((((𝑇𝐴) + (i · (𝑇𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − (((𝑇𝐴) − (i · (𝑇𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵)))))) / 4)
289, 27eqtr4i 2794 1 ((𝑇𝐴) ·ih 𝐵) = (((((𝑇‘(𝐴 + 𝐵)) ·ih (𝐴 + 𝐵)) − ((𝑇‘(𝐴 𝐵)) ·ih (𝐴 𝐵))) + (i · (((𝑇‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 + (i · 𝐵))) − ((𝑇‘(𝐴 (i · 𝐵))) ·ih (𝐴 (i · 𝐵)))))) / 4)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1629  wcel 2143  cfv 6030  (class class class)co 6791  cc 10134  ici 10138   + caddc 10139   · cmul 10141  cmin 10466   / cdiv 10884  4c4 11272  chil 28117   + cva 28118   · csm 28119   ·ih csp 28120   cmv 28123  LinOpclo 28145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1868  ax-4 1883  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2145  ax-9 2152  ax-10 2172  ax-11 2188  ax-12 2201  ax-13 2406  ax-ext 2749  ax-sep 4911  ax-nul 4919  ax-pow 4970  ax-pr 5033  ax-un 7094  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-hilex 28197  ax-hfvadd 28198  ax-hvass 28200  ax-hv0cl 28201  ax-hvaddid 28202  ax-hfvmul 28203  ax-hvmulid 28204  ax-hvdistr2 28207  ax-hvmul0 28208  ax-hfi 28277  ax-his1 28280  ax-his2 28281  ax-his3 28282
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1632  df-ex 1851  df-nf 1856  df-sb 2048  df-eu 2620  df-mo 2621  df-clab 2756  df-cleq 2762  df-clel 2765  df-nfc 2900  df-ne 2942  df-nel 3045  df-ral 3064  df-rex 3065  df-reu 3066  df-rmo 3067  df-rab 3068  df-v 3350  df-sbc 3585  df-csb 3680  df-dif 3723  df-un 3725  df-in 3727  df-ss 3734  df-nul 4061  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4572  df-iun 4653  df-br 4784  df-opab 4844  df-mpt 4861  df-id 5156  df-po 5169  df-so 5170  df-xp 5254  df-rel 5255  df-cnv 5256  df-co 5257  df-dm 5258  df-rn 5259  df-res 5260  df-ima 5261  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-er 7894  df-map 8009  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-cj 14050  df-re 14051  df-im 14052  df-hvsub 28169  df-lnop 29041
This theorem is referenced by:  lnopeq0lem2  29206
  Copyright terms: Public domain W3C validator