Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lnmfg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnmfg 38178
Description: A Noetherian left module is finitely generated. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
lnmfg (𝑀 ∈ LNoeM → 𝑀 ∈ LFinGen)

Proof of Theorem lnmfg
StepHypRef Expression
1 eqid 2771 . . 3 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
21ressid 16142 . 2 (𝑀 ∈ LNoeM → (𝑀s (Base‘𝑀)) = 𝑀)
3 lnmlmod 38175 . . . 4 (𝑀 ∈ LNoeM → 𝑀 ∈ LMod)
4 eqid 2771 . . . . 5 (LSubSp‘𝑀) = (LSubSp‘𝑀)
51, 4lss1 19149 . . . 4 (𝑀 ∈ LMod → (Base‘𝑀) ∈ (LSubSp‘𝑀))
63, 5syl 17 . . 3 (𝑀 ∈ LNoeM → (Base‘𝑀) ∈ (LSubSp‘𝑀))
7 eqid 2771 . . . 4 (𝑀s (Base‘𝑀)) = (𝑀s (Base‘𝑀))
84, 7lnmlssfg 38176 . . 3 ((𝑀 ∈ LNoeM ∧ (Base‘𝑀) ∈ (LSubSp‘𝑀)) → (𝑀s (Base‘𝑀)) ∈ LFinGen)
96, 8mpdan 667 . 2 (𝑀 ∈ LNoeM → (𝑀s (Base‘𝑀)) ∈ LFinGen)
102, 9eqeltrrd 2851 1 (𝑀 ∈ LNoeM → 𝑀 ∈ LFinGen)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2145  cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  s cress 16065  LModclmod 19073  LSubSpclss 19142  LFinGenclfig 38163  LNoeMclnm 38171
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-ress 16072  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lnm 38172
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator