Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnfncon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnfncon 29224
 Description: A condition equivalent to "𝑇 is continuous" when 𝑇 is linear. Theorem 3.5(iii) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 16-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
lnfncon (𝑇 ∈ LinFn → (𝑇 ∈ ContFn ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (norm𝑦))))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇

Proof of Theorem lnfncon
StepHypRef Expression
1 eleq1 2827 . . 3 (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0})) → (𝑇 ∈ ContFn ↔ if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ ContFn))
2 fveq1 6351 . . . . . 6 (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0})) → (𝑇𝑦) = (if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝑦))
32fveq2d 6356 . . . . 5 (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0})) → (abs‘(𝑇𝑦)) = (abs‘(if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝑦)))
43breq1d 4814 . . . 4 (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0})) → ((abs‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (norm𝑦)) ↔ (abs‘(if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (norm𝑦))))
54rexralbidv 3196 . . 3 (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0})) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (norm𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (norm𝑦))))
61, 5bibi12d 334 . 2 (𝑇 = if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0})) → ((𝑇 ∈ ContFn ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (norm𝑦))) ↔ (if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ ContFn ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (norm𝑦)))))
7 0lnfn 29153 . . . 4 ( ℋ × {0}) ∈ LinFn
87elimel 4294 . . 3 if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ LinFn
98lnfnconi 29223 . 2 (if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0})) ∈ ContFn ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(if(𝑇 ∈ LinFn, 𝑇, ( ℋ × {0}))‘𝑦)) ≤ (𝑥 · (norm𝑦)))
106, 9dedth 4283 1 (𝑇 ∈ LinFn → (𝑇 ∈ ContFn ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℋ (abs‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (norm𝑦))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050  ∃wrex 3051  ifcif 4230  {csn 4321   class class class wbr 4804   × cxp 5264  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  ℝcr 10127  0cc0 10128   · cmul 10133   ≤ cle 10267  abscabs 14173   ℋchil 28085  normℎcno 28089  ContFnccnfn 28119  LinFnclf 28120 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-hilex 28165  ax-hfvadd 28166  ax-hv0cl 28169  ax-hvaddid 28170  ax-hfvmul 28171  ax-hvmulid 28172  ax-hvmulass 28173  ax-hvmul0 28176  ax-hfi 28245  ax-his1 28248  ax-his3 28250  ax-his4 28251 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-hnorm 28134  df-hvsub 28137  df-nmfn 29013  df-cnfn 29015  df-lnfn 29016 This theorem is referenced by:  lnfncnbd  29225  riesz1  29233  cnlnadjlem2  29236
 Copyright terms: Public domain W3C validator