MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lnext Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnext 25682
Description: Extend a line with a missing point. Theorem 4.14 of [Schwabhauser] p. 37. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglngval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglngval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglngval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglngval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x (𝜑𝑋𝑃)
tglngval.y (𝜑𝑌𝑃)
tgcolg.z (𝜑𝑍𝑃)
lnxfr.r = (cgrG‘𝐺)
lnxfr.a (𝜑𝐴𝑃)
lnxfr.b (𝜑𝐵𝑃)
lnxfr.d = (dist‘𝐺)
lnext.1 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
lnext.2 (𝜑 → (𝑋 𝑌) = (𝐴 𝐵))
Assertion
Ref Expression
lnext (𝜑 → ∃𝑐𝑃 ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩)
Distinct variable groups:   ,𝑐   ,𝑐   𝐴,𝑐   𝐵,𝑐   𝐼,𝑐   𝑃,𝑐   𝑋,𝑐   𝑌,𝑐   𝑍,𝑐   𝜑,𝑐
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑐)   𝐿(𝑐)

Proof of Theorem lnext
StepHypRef Expression
1 tglngval.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 lnxfr.d . . . . 5 = (dist‘𝐺)
3 tglngval.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 tglngval.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
5 lnxfr.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
6 lnxfr.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
7 tglngval.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑃)
8 tgcolg.z . . . . 5 (𝜑𝑍𝑃)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8axtgsegcon 25583 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑐𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍)))
109adantr 472 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → ∃𝑐𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍)))
11 lnxfr.r . . . . . 6 = (cgrG‘𝐺)
124ad3antrrr 768 . . . . . 6 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
13 tglngval.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑃)
1413ad3antrrr 768 . . . . . 6 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → 𝑋𝑃)
157ad3antrrr 768 . . . . . 6 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → 𝑌𝑃)
168ad3antrrr 768 . . . . . 6 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → 𝑍𝑃)
175ad3antrrr 768 . . . . . 6 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → 𝐴𝑃)
186ad3antrrr 768 . . . . . 6 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → 𝐵𝑃)
19 simplr 809 . . . . . 6 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → 𝑐𝑃)
20 lnext.2 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 𝑌) = (𝐴 𝐵))
2120ad3antrrr 768 . . . . . 6 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → (𝑋 𝑌) = (𝐴 𝐵))
22 simprr 813 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))
2322eqcomd 2766 . . . . . 6 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → (𝑌 𝑍) = (𝐵 𝑐))
24 simpllr 817 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
25 simprl 811 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐))
261, 2, 3, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 24, 25, 21, 23tgcgrextend 25600 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → (𝑋 𝑍) = (𝐴 𝑐))
271, 2, 3, 12, 14, 16, 17, 19, 26tgcgrcomlr 25595 . . . . . 6 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → (𝑍 𝑋) = (𝑐 𝐴))
281, 2, 11, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 23, 27trgcgr 25631 . . . . 5 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩)
2928ex 449 . . . 4 (((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) → ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍)) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩))
3029reximdva 3155 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → (∃𝑐𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍)) → ∃𝑐𝑃 ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩))
3110, 30mpd 15 . 2 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → ∃𝑐𝑃 ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩)
321, 2, 3, 4, 6, 5, 13, 8axtgsegcon 25583 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑐𝑃 (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍)))
3332adantr 472 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → ∃𝑐𝑃 (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍)))
344ad3antrrr 768 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
3513ad3antrrr 768 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → 𝑋𝑃)
367ad3antrrr 768 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → 𝑌𝑃)
378ad3antrrr 768 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → 𝑍𝑃)
385ad3antrrr 768 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → 𝐴𝑃)
396ad3antrrr 768 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → 𝐵𝑃)
40 simplr 809 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → 𝑐𝑃)
4120ad3antrrr 768 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → (𝑋 𝑌) = (𝐴 𝐵))
42 simpllr 817 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍))
43 simprl 811 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐))
441, 2, 3, 34, 35, 36, 38, 39, 41tgcgrcomlr 25595 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → (𝑌 𝑋) = (𝐵 𝐴))
45 simprr 813 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))
4645eqcomd 2766 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → (𝑋 𝑍) = (𝐴 𝑐))
471, 2, 3, 34, 36, 35, 37, 39, 38, 40, 42, 43, 44, 46tgcgrextend 25600 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → (𝑌 𝑍) = (𝐵 𝑐))
481, 2, 3, 34, 35, 37, 38, 40, 46tgcgrcomlr 25595 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → (𝑍 𝑋) = (𝑐 𝐴))
491, 2, 11, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 47, 48trgcgr 25631 . . . . 5 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩)
5049ex 449 . . . 4 (((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) → ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍)) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩))
5150reximdva 3155 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → (∃𝑐𝑃 (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍)) → ∃𝑐𝑃 ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩))
5233, 51mpd 15 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → ∃𝑐𝑃 ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩)
534adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
5413adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑋𝑃)
558adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑍𝑃)
567adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑌𝑃)
575adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐴𝑃)
586adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐵𝑃)
59 simpr 479 . . . 4 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
6020adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → (𝑋 𝑌) = (𝐴 𝐵))
611, 2, 3, 11, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60tgcgrxfr 25633 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → ∃𝑐𝑃 (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩))
624ad3antrrr 768 . . . . . 6 ((((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6313ad3antrrr 768 . . . . . 6 ((((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)) → 𝑋𝑃)
648ad3antrrr 768 . . . . . 6 ((((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)) → 𝑍𝑃)
657ad3antrrr 768 . . . . . 6 ((((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)) → 𝑌𝑃)
665ad3antrrr 768 . . . . . 6 ((((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)) → 𝐴𝑃)
67 simplr 809 . . . . . 6 ((((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)) → 𝑐𝑃)
686ad3antrrr 768 . . . . . 6 ((((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)) → 𝐵𝑃)
69 simprr 813 . . . . . 6 ((((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)) → ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)
701, 2, 3, 11, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69cgr3swap23 25639 . . . . 5 ((((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩)
7170ex 449 . . . 4 (((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐𝑃) → ((𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩))
7271reximdva 3155 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → (∃𝑐𝑃 (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩) → ∃𝑐𝑃 ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩))
7361, 72mpd 15 . 2 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → ∃𝑐𝑃 ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩)
74 lnext.1 . . 3 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
75 tglngval.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
761, 75, 3, 4, 13, 8, 7tgcolg 25669 . . 3 (𝜑 → ((𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍) ↔ (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∨ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∨ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))))
7774, 76mpbid 222 . 2 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∨ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∨ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))
7831, 52, 73, 77mpjao3dan 1544 1 (𝜑 → ∃𝑐𝑃 ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  wa 383  w3o 1071   = wceq 1632  wcel 2139  wrex 3051   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6814  ⟨“cs3 13807  Basecbs 16079  distcds 16172  TarskiGcstrkg 25549  Itvcitv 25555  LineGclng 25556  cgrGccgrg 25625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-xnn0 11576  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-hash 13332  df-word 13505  df-concat 13507  df-s1 13508  df-s2 13813  df-s3 13814  df-trkgc 25567  df-trkgb 25568  df-trkgcb 25569  df-trkg 25572  df-cgrg 25626
This theorem is referenced by:  legov  25700  legov2  25701  legtrd  25704  symquadlem  25804  trgcopy  25916  cgrg3col4  25954
  Copyright terms: Public domain W3C validator