MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvsubcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodvsubcl 19118
Description: Closure of vector subtraction. (hvsubcl 28214 analog.) (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvsubcl.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvsubcl.m = (-g𝑊)
Assertion
Ref Expression
lmodvsubcl ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)

Proof of Theorem lmodvsubcl
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 19080 . 2 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
2 lmodvsubcl.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 lmodvsubcl.m . . 3 = (-g𝑊)
42, 3grpsubcl 17703 . 2 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
51, 4syl3an1 1166 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  Grpcgrp 17630  -gcsg 17632  LModclmod 19073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-lmod 19075
This theorem is referenced by:  lspsnsub  19220  lvecvscan  19324  ip2subdi  20206  ip2eq  20215  ipcau2  23252  nmparlem  23257  minveclem1  23414  minveclem2  23416  minveclem4  23422  minveclem6  23424  pjthlem1  23427  pjthlem2  23428  eqlkr  34908  lkrlsp  34911  mapdpglem1  37482  mapdpglem2  37483  mapdpglem5N  37487  mapdpglem8  37489  mapdpglem9  37490  mapdpglem13  37494  mapdpglem14  37495  mapdpglem27  37509  baerlem3lem2  37520  baerlem5alem2  37521  baerlem5blem2  37522  mapdheq4lem  37541  mapdh6lem1N  37543  mapdh6lem2N  37544  hdmap1l6lem1  37617  hdmap1l6lem2  37618  hdmap11  37658  hdmapinvlem4  37731
  Copyright terms: Public domain W3C validator