MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvscl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodvscl 19102
Description: Closure of scalar product for a left module. (hvmulcl 28200 analog.) (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvscl.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvscl.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvscl.s · = ( ·𝑠𝑊)
lmodvscl.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
lmodvscl ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾𝑋𝑉) → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉)

Proof of Theorem lmodvscl
StepHypRef Expression
1 biid 251 . 2 (𝑊 ∈ LMod ↔ 𝑊 ∈ LMod)
2 pm4.24 678 . 2 (𝑅𝐾 ↔ (𝑅𝐾𝑅𝐾))
3 pm4.24 678 . 2 (𝑋𝑉 ↔ (𝑋𝑉𝑋𝑉))
4 lmodvscl.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
5 eqid 2760 . . . . 5 (+g𝑊) = (+g𝑊)
6 lmodvscl.s . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
7 lmodvscl.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
8 lmodvscl.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐹)
9 eqid 2760 . . . . 5 (+g𝐹) = (+g𝐹)
10 eqid 2760 . . . . 5 (.r𝐹) = (.r𝐹)
11 eqid 2760 . . . . 5 (1r𝐹) = (1r𝐹)
124, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11lmodlema 19090 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅𝐾𝑅𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑋𝑉)) → (((𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 · (𝑋(+g𝑊)𝑋)) = ((𝑅 · 𝑋)(+g𝑊)(𝑅 · 𝑋)) ∧ ((𝑅(+g𝐹)𝑅) · 𝑋) = ((𝑅 · 𝑋)(+g𝑊)(𝑅 · 𝑋))) ∧ (((𝑅(.r𝐹)𝑅) · 𝑋) = (𝑅 · (𝑅 · 𝑋)) ∧ ((1r𝐹) · 𝑋) = 𝑋)))
1312simpld 477 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅𝐾𝑅𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑋𝑉)) → ((𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 · (𝑋(+g𝑊)𝑋)) = ((𝑅 · 𝑋)(+g𝑊)(𝑅 · 𝑋)) ∧ ((𝑅(+g𝐹)𝑅) · 𝑋) = ((𝑅 · 𝑋)(+g𝑊)(𝑅 · 𝑋))))
1413simp1d 1137 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅𝐾𝑅𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑋𝑉)) → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉)
151, 2, 3, 14syl3anb 1165 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾𝑋𝑉) → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  +gcplusg 16163  .rcmulr 16164  Scalarcsca 16166   ·𝑠 cvsca 16167  1rcur 18721  LModclmod 19085
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-nul 4941
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-iota 6012  df-fv 6057  df-ov 6817  df-lmod 19087
This theorem is referenced by:  lmodscaf  19107  lmod0vs  19118  lmodvsmmulgdi  19120  lcomf  19124  lmodvneg1  19128  lmodvsneg  19129  lmodnegadd  19134  lmodsubvs  19141  lmodsubdi  19142  lmodsubdir  19143  lmodvsghm  19146  lmodprop2d  19147  lss1  19161  lssvsubcl  19166  lssvscl  19177  lss1d  19185  lssacs  19189  prdsvscacl  19190  lmodvsinv  19258  lmodvsinv2  19259  islmhm2  19260  0lmhm  19262  idlmhm  19263  lmhmco  19265  lmhmplusg  19266  lmhmvsca  19267  lmhmf1o  19268  lmhmpreima  19270  lmhmeql  19277  pwsdiaglmhm  19279  pwssplit3  19283  lvecvscan  19333  lvecvscan2  19334  lspsnvs  19336  lspfixed  19350  lspexch  19351  lspsolvlem  19364  lspsolv  19365  islbs2  19376  assa2ass  19544  assapropd  19549  asclf  19559  asclrhm  19564  assamulgscmlem1  19570  assamulgscmlem2  19571  mplcoe1  19687  mplmon2cl  19722  mplmon2mul  19723  mplind  19724  ply1tmcl  19864  ply1coe  19888  evl1gsummon  19951  ipass  20212  ipassr  20213  ocvlss  20238  dsmmlss  20310  frlmphl  20342  uvcresum  20354  frlmssuvc2  20356  frlmup1  20359  lindfmm  20388  islindf4  20399  matvscl  20459  mat0dimscm  20497  matinv  20705  mply1topmatcl  20832  pm2mpmhmlem2  20846  monmat2matmon  20851  chpmat1dlem  20862  chpmat1d  20863  chpdmatlem0  20864  chfacfscmulcl  20884  cpmadugsumlemB  20901  cpmadugsumlemC  20902  cpmadugsumlemF  20903  cpmadugsumfi  20904  cpmidgsum2  20906  nlmdsdi  22706  nlmdsdir  22707  nlmmul0or  22708  nlmvscnlem2  22710  nlmvscn  22712  clmvscl  23108  cmodscmulexp  23142  cph2ass  23233  ipcau2  23253  tchcphlem2  23255  tchcph  23256  cphipval2  23260  4cphipval2  23261  cphipval  23262  pjthlem1  23428  mdegvscale  24054  mdegvsca  24055  plypf1  24187  ttgcontlem1  25985  sitgclbn  30735  lindsenlbs  33735  lfl0  34873  lflsub  34875  lflmul  34876  lfl0f  34877  lfl1  34878  lfladdcl  34879  lflnegcl  34883  lflvscl  34885  lkrlss  34903  eqlkr  34907  lkrlsp  34910  lshpkrlem4  34921  lshpkrlem5  34922  lshpkrlem6  34923  lclkrlem2m  37328  lclkrlem2p  37331  lcdvscl  37414  baerlem3lem1  37516  baerlem5alem1  37517  baerlem5blem1  37518  hdmap14lem1a  37678  hdmap14lem2a  37679  hdmap14lem2N  37681  hdmap14lem3  37682  hdmap14lem4a  37683  hdmap14lem8  37687  hgmapadd  37706  hgmapmul  37707  hgmaprnlem4N  37711  hgmap11  37714  hdmapgln2  37724  hdmapinvlem3  37732  hdmapinvlem4  37733  hdmapglem7b  37740  hlhilphllem  37771  mendassa  38284  ply1mulgsum  42706  lincfsuppcl  42730  linccl  42731  lincvalsng  42733  lincvalpr  42735  lincdifsn  42741  linc1  42742  lincsum  42746  lincscm  42747  lincscmcl  42749  lincext3  42773  lindslinindimp2lem4  42778  lindslinindsimp2  42780  snlindsntor  42788  lincresunit3lem2  42797  lincresunit3  42798  zlmodzxzldeplem3  42819
  Copyright terms: Public domain W3C validator