MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvsass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodvsass 19082
Description: Associative law for scalar product. (ax-hvmulass 28165 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvsass.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvsass.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvsass.s · = ( ·𝑠𝑊)
lmodvsass.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodvsass.t × = (.r𝐹)
Assertion
Ref Expression
lmodvsass ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄𝐾𝑅𝐾𝑋𝑉)) → ((𝑄 × 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)))

Proof of Theorem lmodvsass
StepHypRef Expression
1 lmodvsass.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 eqid 2752 . . . . . . 7 (+g𝑊) = (+g𝑊)
3 lmodvsass.s . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝑊)
4 lmodvsass.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
5 lmodvsass.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝐹)
6 eqid 2752 . . . . . . 7 (+g𝐹) = (+g𝐹)
7 lmodvsass.t . . . . . . 7 × = (.r𝐹)
8 eqid 2752 . . . . . . 7 (1r𝐹) = (1r𝐹)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8lmodlema 19062 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄𝐾𝑅𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑋𝑉)) → (((𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 · (𝑋(+g𝑊)𝑋)) = ((𝑅 · 𝑋)(+g𝑊)(𝑅 · 𝑋)) ∧ ((𝑄(+g𝐹)𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋)(+g𝑊)(𝑅 · 𝑋))) ∧ (((𝑄 × 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)) ∧ ((1r𝐹) · 𝑋) = 𝑋)))
109simprld 812 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄𝐾𝑅𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑋𝑉)) → ((𝑄 × 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)))
11103expa 1111 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄𝐾𝑅𝐾)) ∧ (𝑋𝑉𝑋𝑉)) → ((𝑄 × 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)))
1211anabsan2 898 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄𝐾𝑅𝐾)) ∧ 𝑋𝑉) → ((𝑄 × 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)))
1312exp42 640 . 2 (𝑊 ∈ LMod → (𝑄𝐾 → (𝑅𝐾 → (𝑋𝑉 → ((𝑄 × 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋))))))
14133imp2 1440 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄𝐾𝑅𝐾𝑋𝑉)) → ((𝑄 × 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1624  wcel 2131  cfv 6041  (class class class)co 6805  Basecbs 16051  +gcplusg 16135  .rcmulr 16136  Scalarcsca 16138   ·𝑠 cvsca 16139  1rcur 18693  LModclmod 19057
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-nul 4933
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ral 3047  df-rex 3048  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-br 4797  df-iota 6004  df-fv 6049  df-ov 6808  df-lmod 19059
This theorem is referenced by:  lmodvs0  19091  lmodvsneg  19101  lmodsubvs  19113  lmodsubdi  19114  lmodsubdir  19115  islss3  19153  lss1d  19157  prdslmodd  19163  lmodvsinv  19230  lmhmvsca  19239  lvecvs0or  19302  lssvs0or  19304  lvecinv  19307  lspsnvs  19308  lspfixed  19322  lspsolvlem  19336  lspsolv  19337  assa2ass  19516  asclrhm  19536  assamulgscmlem2  19543  mplmon2mul  19695  frlmup1  20331  smatvscl  20524  matinv  20677  clmvsass  23081  cvsi  23122  lshpkrlem4  34895  lcdvsass  37390  baerlem3lem1  37490  hgmapmul  37681  mendlmod  38257  lincscm  42721  ldepsprlem  42763  lincresunit3lem3  42765  lincresunit3lem1  42770
  Copyright terms: Public domain W3C validator