MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodsubvs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodsubvs 19128
Description: Subtraction of a scalar product in terms of addition. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodsubvs.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodsubvs.p + = (+g𝑊)
lmodsubvs.m = (-g𝑊)
lmodsubvs.t · = ( ·𝑠𝑊)
lmodsubvs.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodsubvs.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodsubvs.n 𝑁 = (invg𝐹)
lmodsubvs.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lmodsubvs.a (𝜑𝐴𝐾)
lmodsubvs.x (𝜑𝑋𝑉)
lmodsubvs.y (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
lmodsubvs (𝜑 → (𝑋 (𝐴 · 𝑌)) = (𝑋 + ((𝑁𝐴) · 𝑌)))

Proof of Theorem lmodsubvs
StepHypRef Expression
1 lmodsubvs.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lmodsubvs.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
3 lmodsubvs.a . . . 4 (𝜑𝐴𝐾)
4 lmodsubvs.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
5 lmodsubvs.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
6 lmodsubvs.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
7 lmodsubvs.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
8 lmodsubvs.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐹)
95, 6, 7, 8lmodvscl 19089 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝐾𝑌𝑉) → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉)
101, 3, 4, 9syl3anc 1475 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉)
11 lmodsubvs.p . . . 4 + = (+g𝑊)
12 lmodsubvs.m . . . 4 = (-g𝑊)
13 lmodsubvs.n . . . 4 𝑁 = (invg𝐹)
14 eqid 2770 . . . 4 (1r𝐹) = (1r𝐹)
155, 11, 12, 6, 7, 13, 14lmodvsubval2 19127 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉 ∧ (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑋 (𝐴 · 𝑌)) = (𝑋 + ((𝑁‘(1r𝐹)) · (𝐴 · 𝑌))))
161, 2, 10, 15syl3anc 1475 . 2 (𝜑 → (𝑋 (𝐴 · 𝑌)) = (𝑋 + ((𝑁‘(1r𝐹)) · (𝐴 · 𝑌))))
176lmodring 19080 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
181, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ Ring)
19 ringgrp 18759 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
2018, 19syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ Grp)
218, 14ringidcl 18775 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Ring → (1r𝐹) ∈ 𝐾)
2218, 21syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (1r𝐹) ∈ 𝐾)
238, 13grpinvcl 17674 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Grp ∧ (1r𝐹) ∈ 𝐾) → (𝑁‘(1r𝐹)) ∈ 𝐾)
2420, 22, 23syl2anc 565 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘(1r𝐹)) ∈ 𝐾)
25 eqid 2770 . . . . . 6 (.r𝐹) = (.r𝐹)
265, 6, 7, 8, 25lmodvsass 19097 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑁‘(1r𝐹)) ∈ 𝐾𝐴𝐾𝑌𝑉)) → (((𝑁‘(1r𝐹))(.r𝐹)𝐴) · 𝑌) = ((𝑁‘(1r𝐹)) · (𝐴 · 𝑌)))
271, 24, 3, 4, 26syl13anc 1477 . . . 4 (𝜑 → (((𝑁‘(1r𝐹))(.r𝐹)𝐴) · 𝑌) = ((𝑁‘(1r𝐹)) · (𝐴 · 𝑌)))
288, 25, 14, 13, 18, 3ringnegl 18801 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘(1r𝐹))(.r𝐹)𝐴) = (𝑁𝐴))
2928oveq1d 6807 . . . 4 (𝜑 → (((𝑁‘(1r𝐹))(.r𝐹)𝐴) · 𝑌) = ((𝑁𝐴) · 𝑌))
3027, 29eqtr3d 2806 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘(1r𝐹)) · (𝐴 · 𝑌)) = ((𝑁𝐴) · 𝑌))
3130oveq2d 6808 . 2 (𝜑 → (𝑋 + ((𝑁‘(1r𝐹)) · (𝐴 · 𝑌))) = (𝑋 + ((𝑁𝐴) · 𝑌)))
3216, 31eqtrd 2804 1 (𝜑 → (𝑋 (𝐴 · 𝑌)) = (𝑋 + ((𝑁𝐴) · 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1630  wcel 2144  cfv 6031  (class class class)co 6792  Basecbs 16063  +gcplusg 16148  .rcmulr 16149  Scalarcsca 16151   ·𝑠 cvsca 16152  Grpcgrp 17629  invgcminusg 17630  -gcsg 17631  1rcur 18708  Ringcrg 18754  LModclmod 19072
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-plusg 16161  df-0g 16309  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-sbg 17634  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-ring 18756  df-lmod 19074
This theorem is referenced by:  lspexch  19342  baerlem5alem1  37511  baerlem5blem1  37512
  Copyright terms: Public domain W3C validator