MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodsn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodsn0 19098
Description: The set of scalars in a left module is nonempty. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodsn0.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodsn0.b 𝐵 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
lmodsn0 (𝑊 ∈ LMod → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem lmodsn0
StepHypRef Expression
1 lmodsn0.f . . 3 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
21lmodfgrp 19094 . 2 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
3 lmodsn0.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐹)
43grpbn0 17672 . 2 (𝐹 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)
52, 4syl 17 1 (𝑊 ∈ LMod → 𝐵 ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  c0 4058  cfv 6049  Basecbs 16079  Scalarcsca 16166  Grpcgrp 17643  LModclmod 19085
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-0g 16324  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-grp 17646  df-ring 18769  df-lmod 19087
This theorem is referenced by:  lindsrng01  42785
  Copyright terms: Public domain W3C validator