MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodindp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodindp1 19236
Description: Two independent (non-colinear) vectors have nonzero sum. (Contributed by NM, 22-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodindp1.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodindp1.p + = (+g𝑊)
lmodindp1.o 0 = (0g𝑊)
lmodindp1.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lmodindp1.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lmodindp1.x (𝜑𝑋𝑉)
lmodindp1.y (𝜑𝑌𝑉)
lmodindp1.q (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
Assertion
Ref Expression
lmodindp1 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ≠ 0 )

Proof of Theorem lmodindp1
StepHypRef Expression
1 lmodindp1.q . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
2 lmodindp1.w . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
3 lmodindp1.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝑉)
4 lmodindp1.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑊)
5 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (invg𝑊) = (invg𝑊)
6 lmodindp1.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
74, 5, 6lspsnneg 19228 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{((invg𝑊)‘𝑋)}) = (𝑁‘{𝑋}))
82, 3, 7syl2anc 696 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{((invg𝑊)‘𝑋)}) = (𝑁‘{𝑋}))
98eqcomd 2766 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{((invg𝑊)‘𝑋)}))
109adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{((invg𝑊)‘𝑋)}))
11 lmodgrp 19092 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
122, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ Grp)
13 lmodindp1.y . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌𝑉)
14 lmodindp1.p . . . . . . . . . 10 + = (+g𝑊)
15 lmodindp1.o . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑊)
164, 14, 15, 5grpinvid1 17691 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (((invg𝑊)‘𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑋 + 𝑌) = 0 ))
1712, 3, 13, 16syl3anc 1477 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((invg𝑊)‘𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑋 + 𝑌) = 0 ))
1817biimpar 503 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) = 0 ) → ((invg𝑊)‘𝑋) = 𝑌)
1918sneqd 4333 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) = 0 ) → {((invg𝑊)‘𝑋)} = {𝑌})
2019fveq2d 6357 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) = 0 ) → (𝑁‘{((invg𝑊)‘𝑋)}) = (𝑁‘{𝑌}))
2110, 20eqtrd 2794 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
2221ex 449 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) = 0 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
2322necon3d 2953 . 2 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) → (𝑋 + 𝑌) ≠ 0 ))
241, 23mpd 15 1 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ≠ 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  {csn 4321  cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  +gcplusg 16163  0gc0g 16322  Grpcgrp 17643  invgcminusg 17644  LModclmod 19085  LSpanclspn 19193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-plusg 16176  df-0g 16324  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-lmod 19087  df-lss 19155  df-lsp 19194
This theorem is referenced by:  lcfrlem17  37368  mapdh6aN  37544  mapdh6eN  37549  hdmap1l6a  37619  hdmap1l6e  37624  hdmaprnlem3eN  37670
  Copyright terms: Public domain W3C validator