Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmod1lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmod1lem5 42808
 Description: Lemma 5 for lmod1 42809. (Contributed by AV, 28-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
lmod1.m 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦)⟩})
Assertion
Ref Expression
lmod1lem5 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → ((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠𝑀)𝐼) = 𝐼)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦

Proof of Theorem lmod1lem5
StepHypRef Expression
1 fvex 6342 . . . . . 6 (Base‘𝑅) ∈ V
2 snex 5036 . . . . . 6 {𝐼} ∈ V
31, 2pm3.2i 447 . . . . 5 ((Base‘𝑅) ∈ V ∧ {𝐼} ∈ V)
43a1i 11 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → ((Base‘𝑅) ∈ V ∧ {𝐼} ∈ V))
5 mpt2exga 7396 . . . 4 (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ {𝐼} ∈ V) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V)
6 lmod1.m . . . . 5 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦)⟩})
76lmodvsca 16229 . . . 4 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) = ( ·𝑠𝑀))
84, 5, 73syl 18 . . 3 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) = ( ·𝑠𝑀))
98eqcomd 2777 . 2 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → ( ·𝑠𝑀) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦))
10 simprr 756 . 2 (((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 = (1r‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑦 = 𝐼)) → 𝑦 = 𝐼)
116lmodsca 16228 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑀))
1211adantl 467 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝑀))
1312eqcomd 2777 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → (Scalar‘𝑀) = 𝑅)
1413fveq2d 6336 . . 3 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → (1r‘(Scalar‘𝑀)) = (1r𝑅))
15 eqid 2771 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
16 eqid 2771 . . . . 5 (1r𝑅) = (1r𝑅)
1715, 16ringidcl 18776 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
1817adantl 467 . . 3 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
1914, 18eqeltrd 2850 . 2 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → (1r‘(Scalar‘𝑀)) ∈ (Base‘𝑅))
20 snidg 4345 . . 3 (𝐼𝑉𝐼 ∈ {𝐼})
2120adantr 466 . 2 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → 𝐼 ∈ {𝐼})
229, 10, 19, 21, 21ovmpt2d 6935 1 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → ((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠𝑀)𝐼) = 𝐼)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  Vcvv 3351   ∪ cun 3721  {csn 4316  {ctp 4320  ⟨cop 4322  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793   ↦ cmpt2 6795  ndxcnx 16061  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  Scalarcsca 16152   ·𝑠 cvsca 16153  1rcur 18709  Ringcrg 18755 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-plusg 16162  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757 This theorem is referenced by:  lmod1  42809
 Copyright terms: Public domain W3C validator