MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmod0vlid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmod0vlid 19103
Description: Left identity law for the zero vector. (hvaddid2 28220 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
0vlid.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
0vlid.a + = (+g𝑊)
0vlid.z 0 = (0g𝑊)
Assertion
Ref Expression
lmod0vlid ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem lmod0vlid
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 19080 . 2 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
2 0vlid.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 0vlid.a . . 3 + = (+g𝑊)
4 0vlid.z . . 3 0 = (0g𝑊)
52, 3, 4grplid 17660 . 2 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋𝑉) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)
61, 5sylan 569 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  0gc0g 16308  Grpcgrp 17630  LModclmod 19073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-lmod 19075
This theorem is referenced by:  lmodvneg1  19116  lsssn0  19158  lspfixed  19341  lspfixedOLD  19342  lspexch  19343  lsmsat  34817  dochfl1  37286  baerlem5blem1  37519
  Copyright terms: Public domain W3C validator