MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmnn 23280
Description: A condition that implies convergence. (Contributed by NM, 8-Jun-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmnn.2 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lmnn.3 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
lmnn.4 (𝜑𝑃𝑋)
lmnn.5 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑋)
lmnn.6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < (1 / 𝑘))
Assertion
Ref Expression
lmnn (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑘   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐽(𝑘)

Proof of Theorem lmnn
Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmnn.4 . 2 (𝜑𝑃𝑋)
2 rpreccl 12060 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
32adantl 467 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
43rpred 12075 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
53rpge0d 12079 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (1 / 𝑥))
6 flge0nn0 12829 . . . . . 6 (((1 / 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝑥)) → (⌊‘(1 / 𝑥)) ∈ ℕ0)
74, 5, 6syl2anc 573 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (⌊‘(1 / 𝑥)) ∈ ℕ0)
8 nn0p1nn 11534 . . . . 5 ((⌊‘(1 / 𝑥)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℕ)
97, 8syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℕ)
10 lmnn.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
1110ad2antrr 705 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
12 lmnn.5 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑋)
1312ad2antrr 705 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
14 eluznn 11961 . . . . . . . . 9 ((((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
159, 14sylan 569 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
1613, 15ffvelrnd 6503 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
171ad2antrr 705 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑃𝑋)
18 xmetcl 22356 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋𝑃𝑋) → ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) ∈ ℝ*)
1911, 16, 17, 18syl3anc 1476 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) ∈ ℝ*)
2015nnrecred 11268 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
2120rexrd 10291 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ*)
22 rpxr 12043 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ*)
2322ad2antlr 706 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
24 lmnn.6 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < (1 / 𝑘))
2524adantlr 694 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < (1 / 𝑘))
2615, 25syldan 579 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < (1 / 𝑘))
274adantr 466 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
289nnred 11237 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℝ)
2928adantr 466 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℝ)
3015nnred 11237 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
31 flltp1 12809 . . . . . . . . 9 ((1 / 𝑥) ∈ ℝ → (1 / 𝑥) < ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))
3227, 31syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑥) < ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))
33 eluzle 11901 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1)) → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ≤ 𝑘)
3433adantl 467 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ≤ 𝑘)
3527, 29, 30, 32, 34ltletrd 10399 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑥) < 𝑘)
36 simplr 752 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
37 rpregt0 12049 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
38 nnrp 12045 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
3938rpregt0d 12081 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘))
40 ltrec1 11112 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘)) → ((1 / 𝑥) < 𝑘 ↔ (1 / 𝑘) < 𝑥))
4137, 39, 40syl2an 583 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑥) < 𝑘 ↔ (1 / 𝑘) < 𝑥))
4236, 15, 41syl2anc 573 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((1 / 𝑥) < 𝑘 ↔ (1 / 𝑘) < 𝑥))
4335, 42mpbid 222 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑘) < 𝑥)
4419, 21, 23, 26, 43xrlttrd 12195 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)
4544ralrimiva 3115 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)
46 fveq2 6332 . . . . . 6 (𝑗 = ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) → (ℤ𝑗) = (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1)))
4746raleqdv 3293 . . . . 5 (𝑗 = ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥))
4847rspcev 3460 . . . 4 ((((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)
499, 45, 48syl2anc 573 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)
5049ralrimiva 3115 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)
51 lmnn.2 . . 3 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
52 nnuz 11925 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
53 1zzd 11610 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
54 eqidd 2772 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
5551, 10, 52, 53, 54, 12lmmbrf 23279 . 2 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
561, 50, 55mpbir2and 692 1 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wrex 3062   class class class wbr 4786  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141  *cxr 10275   < clt 10276  cle 10277   / cdiv 10886  cn 11222  0cn0 11494  cuz 11888  +crp 12035  cfl 12799  ∞Metcxmt 19946  MetOpencmopn 19951  𝑡clm 21251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-fl 12801  df-topgen 16312  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-top 20919  df-topon 20936  df-bases 20971  df-lm 21254
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator