Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmlimxrge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmlimxrge0 30324
 Description: Relate a limit in the nonnegative extended reals to a complex limit, provided the considered function is a real function. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lmlimxrge0.j 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
lmlimxrge0.f (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑋)
lmlimxrge0.p (𝜑𝑃𝑋)
lmlimxrge0.x 𝑋 ⊆ (0[,)+∞)
Assertion
Ref Expression
lmlimxrge0 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃𝐹𝑃))

Proof of Theorem lmlimxrge0
StepHypRef Expression
1 lmlimxrge0.j . . . 4 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
2 xrge0topn 30319 . . . 4 (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
31, 2eqtri 2782 . . 3 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
4 letopon 21231 . . . 4 (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
5 iccssxr 12469 . . . 4 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
6 resttopon 21187 . . . 4 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)))
74, 5, 6mp2an 710 . . 3 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
83, 7eqeltri 2835 . 2 𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
9 lmlimxrge0.f . 2 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑋)
10 lmlimxrge0.p . 2 (𝜑𝑃𝑋)
11 fvex 6363 . . . 4 (ordTop‘ ≤ ) ∈ V
12 lmlimxrge0.x . . . . 5 𝑋 ⊆ (0[,)+∞)
13 icossicc 12473 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
1412, 13sstri 3753 . . . 4 𝑋 ⊆ (0[,]+∞)
15 ovex 6842 . . . 4 (0[,]+∞) ∈ V
16 restabs 21191 . . . 4 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ V ∧ 𝑋 ⊆ (0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↾t 𝑋) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝑋))
1711, 14, 15, 16mp3an 1573 . . 3 (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↾t 𝑋) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝑋)
183oveq1i 6824 . . 3 (𝐽t 𝑋) = (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↾t 𝑋)
19 rge0ssre 12493 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2012, 19sstri 3753 . . . 4 𝑋 ⊆ ℝ
21 eqid 2760 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
22 eqid 2760 . . . . 5 (ordTop‘ ≤ ) = (ordTop‘ ≤ )
2321, 22xrrest2 22832 . . . 4 (𝑋 ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝑋))
2420, 23ax-mp 5 . . 3 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t 𝑋)
2517, 18, 243eqtr4i 2792 . 2 (𝐽t 𝑋) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)
26 ax-resscn 10205 . . 3 ℝ ⊆ ℂ
2720, 26sstri 3753 . 2 𝑋 ⊆ ℂ
288, 9, 10, 25, 27lmlim 30323 1 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃𝐹𝑃))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340   ⊆ wss 3715   class class class wbr 4804  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  ℂcc 10146  ℝcr 10147  0cc0 10148  +∞cpnf 10283  ℝ*cxr 10285   ≤ cle 10287  ℕcn 11232  [,)cico 12390  [,]cicc 12391   ⇝ cli 14434   ↾s cress 16080   ↾t crest 16303  TopOpenctopn 16304  ordTopcordt 16381  ℝ*𝑠cxrs 16382  ℂfldccnfld 19968  TopOnctopon 20937  ⇝𝑡clm 21252 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-ioo 12392  df-ioc 12393  df-ico 12394  df-icc 12395  df-fz 12540  df-seq 13016  df-exp 13075  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-rest 16305  df-topn 16306  df-topgen 16326  df-ordt 16383  df-xrs 16384  df-ps 17421  df-tsr 17422  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-cnfld 19969  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-lm 21255  df-xms 22346  df-ms 22347 This theorem is referenced by:  esumcvg  30478  dstfrvclim1  30869
 Copyright terms: Public domain W3C validator